به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+3 امتیاز
204 بازدید
در دبیرستان توسط Mohsenn
ویرایش شده توسط saderi7

با سلام . در کتاب حسابان تعریفی در باره مشتق پذیری تابع f در $ x_{0} $ بیان شده که می گوید : تابع f در $ x_{0} $ مشتق پذیر است اگر و تنها اگر مشتق چپ و راست تابع در نقطه $ x_{0} $ موجود و برابر باشند . حال تابع:

$$ f(x) =\begin{cases} 1 & x = 0\\ x^{2} & x \in \mathbb{R} \backslash \{0\}\end{cases} $$

در نقطه $ x=0 $ دارای مشتق چپ و راست میباشد و با هم برابر نیز میباشند . ولی میدانیم که در این نقطه مشتق وجود ندارد . تعریف مشکل داره یا من نکته ای رو در نظر نمیگیرم .

1 پاسخ

+3 امتیاز
توسط saderi7

مشتق چپ و راست تابع را حساب میکنیم :

$$\lim_{x\to 0^+}\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\to 0^+}\dfrac{x^2-1}{x}=-\infty$$ $$\lim_{x\to 0^-}\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\to 0^-}\dfrac{x^2-1}{x}=+\infty$$

همانطور که مشاهده میکنید مشتق چپ و راست به بینهایت میل کرد .

درنتیجه تابع مشتق پذیر نیست در نقطه $x=0$

توسط Mohsenn
ویرایش شده توسط Mohsenn
پس  نیازی نیست پیوستگی رو در تعریف وارد  کرد. یعنی نمیشه مثال نقضی پیدا کرد که مثلا  ناپیوسته باشه و حدمشتق چپ و راست برابر شود.
توسط saderi7
@Mohsenn
حد چپ و راست در یک نقطه برابر باشد مشتق پذیره در نیجه .پیوسته است.
پس مثال نقص ندارد .

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...