به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+1 امتیاز
168 بازدید
در دانشگاه توسط آنا (11 امتیاز)
ویرایش شده توسط AmirHosein

در مبحث فضاهای باناخ یک‌دار پرسشی داشتم. می‌دانیم که اگر $X$ فشرده باشد، آنگاه $C(X)$ یک جبرِ باناخِ یک‌دار است. اکنون سوال من این است که چرا اگر شرط فشرده‌بودن $X$ را با موضعا فشرده‌بودن جابجا کنیم آنگاه $C_0(X)$ یک جبر باناخ بدون یک می‌شود؟

متاسفانه من نتوانستم مقالهٔ اصلی مربوط به کارم1 را پیدا کنم و در کتاب‌های جبر باناخ هم موفق به پیدا کردن پاسخ نشدم.


  1. ویرایشگر: پرسش‌کننده ننوشته‌است که مقالهٔ اصلیِ چه چیزی منظورش است. و اینکه چرا فکر می‌کند باید حتما بدون یک باشد را اشاره نکرده‌است. ↩︎

توسط AmirHosein (9,366 امتیاز)
در قسمت مرجع نام درس نمی‌آورند! نام درس و موضوع در قسمت برچسب گذاشته می‌شود. در قسمت مرجع نام کتاب یا مقاله‌ای که در آن به این پرسش برخورده‌اید را می‌آورند به همراه نام نویسنده‌اش.

1 پاسخ

+3 امتیاز
توسط Hamed.Baghal (121 امتیاز)
ویرایش شده توسط Hamed.Baghal
 
بهترین پاسخ

اول بیایید تعریف $C_0(X)$ را مرور کنیم که می‌گوید؛

اگر $C(X)$ فضای توابع پیوسته روی $X$ باشد، آنگاه $C_0(X)$ زیرفضای شامل توابع پیوسته‌ای می‌باشد که در بینهایت صفر می‌باشند، بعبارتی به ازای هر $\epsilon>0$ مجموعه‌ٔ فشرده‌ٔ $K\subseteq X$ موجود باشد که به ازای هر $x\in X\setminus K$، داشته‌باشیم $\vert f(x)\vert < \epsilon$.

چون اعمال جبری$C_0(X)$ با $C(X)$ یکی می‌باشد، پس یکِ ضربی آن در صورت وجود، با یکِ ضربی $C(X)$ یکسان می‌باشد. حال، باید ببینیم که آیا یکِ این زیرفضا که همان تابع ثابت یک می‌باشد، عضو این زیرفضا است؟

اگر $X$ فشرده باشد، آنگاه به ازای هر $\epsilon>0$ مجموعه‌ٔ فشرده‌ٔ $K\subseteq X$ در تعریف بالا را خود $X$ بگیرید. در این صورت، هر تابعی به انتفاء مقدم در شرط $C_0(X)$ صدق می‌کند؛ بویژه تابع ثابت یک. پس در این حالت جبرمان یکدار است، اما برای $X$-ِ موضعا فشرده، الزاما تابع ثابت یک در شرط $C_0(X)$ صدق نمی‌کند. برای مثال، $X=\mathbb{R}$ را در نظربگیرید. توجه کنید که موضعا فشرده بودن $X$ یکدار بودن یا نبودن $C_0(X)$ را مشخص نمی‌کند.


حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...