به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+4 امتیاز
109 بازدید
سوال شده در دبیرستان و دانشگاه توسط hossain79
ویرایش شده توسط fardina

حاصل حد دنباله زير را حساب كنيد ؟

$$\lim_{n}( \frac{1\cdot3\cdot5\cdot \cdot \cdot(2n-1)}{2\cdot4\cdot6 \cdot \cdot \cdot (2n)} ) $$

2 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط saderi7
انتخاب شده توسط hossain79
 
بهترین پاسخ

قضیه

$$ \forall x \in \mathbb{R} :1+x \leq e^x$$

حال دنباله را بازسازی میکنیم :

$$a_n= \prod _{k=1}^{n} \big(1-\dfrac{1}{2k}\big) $$

از نامساوی ذکر شده استفاده میکنیم :

$$1+(\frac{-1}{2})\leq e^{(\frac{-1}{2})}$$ $$1+(\frac{-1}{4})\leq e^{(\frac{-1}{4})}$$ $$.\\.\\.\\$$ $$1+(\frac{-1}{2n})\leq e^{(\frac{-1}{2n})}$$

حال به صورت ستونی نامساوی هارو ضرب میکنیم خواهیم داشت :

$$ a_n= \prod _{k=1}^{n} \big(1-\dfrac{1}{2k}\big) \leq e^{(\frac{-1}{2} H_n)} $$

به طوری که :

$$H_n =\sum _{k=1}^{n} \dfrac{1}{n}$$

حال میدانیم که حاصل سری هارمونیک بینهایت است در نتیحه :

$$\lim_{n}\dfrac{-1}{2}H_n=-\infty $$

و همچنین میدانیم که :

$$\lim_{n\to -\infty}e^n =0$$

بنابراین حاصل حد خواهد بود :

$$\lim _n a_n=0$$
+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط Maisam.Hedyehloo

راهنمایی: $$\lim_{n}( \frac{1\cdot3\cdot5\cdot \cdot \cdot(2n-1)}{2\cdot4\cdot6 \cdot \cdot \cdot (2n)} )=\lim_{n}( \frac{(2n)!}{2^2 ((n)!)^2} )$$

از فرمول استرلینگ استفاده کن.

با توجه به اینکه اخیرا هزینه های نگهداری سایت افزایش چشمگیر چند برابری داشته، محفل ریاضی نیازمند حمایت مالی شما است.

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

ابزارها:

سرگرمی: سودوکو جدید

رسم نمودار: Geogebra جدید

...