به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+6 امتیاز
2,027 بازدید
در دبیرستان توسط فرید (216 امتیاز)

دلیل حاصل عبارت $ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{sin x}{x} $ چرا میشه $1 $ ؟

4 پاسخ

+8 امتیاز
توسط zh (1,089 امتیاز)
ویرایش شده توسط fardina

برای اینکه بفهمیم چرا حد $ \lim_{ \theta \rightarrow 0} \frac{\sin \theta}{\theta} $ میشه $1 $ ، قضیه مهم زیر رو در نظر میگیریم:

قضیه افشردگی : فرض کنید توابع $ f, g $ و $ h $ روی بازه ی $ I $ ی شامل $ a $ ، احتمالا بجز خود $ a $ ، تعریف شده باشند و به ازای هر $ x $ در $I $ که .$ x \neq a $ ، $ f(x) \leq g(x) \leq h(x) $ همچنین فرض کنید که هر دو حد توابع $f $ و $ h $ در $a $ موجود و برابر $l $ باشد، آنگاه $ \lim_{x \rightarrow a} g(x)=l $ است.

enter image description here

شکل بالا رو در نظر بگیرید. با توجه به اینکه $ \theta \neq 0 $ و $ | \theta | < \frac{\pi}{2} $ با مقایسه مساحت ها در شکل داریم: $$\sin \theta < \theta < \tan \theta\quad ,\theta > 0$$ $$\tan \theta < \theta < \sin \theta \quad ,\theta < 0 $$

بنابراین اگر $ \theta \neq 0 $ داریم $$ 1 < \frac{\theta}{\sin \theta} < \frac{1}{\cos \theta} $$ .

اما چون $ \cos \theta $ تابعی پیوسته است، لذا $ \lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{1}{\cos \theta} =1 $. حد تابع ثابت $ 1 $ نیز، وقتی $ \theta$ به $ 0 $ میل میکنه برابر با
$1 $ هستش. چون $ \frac{\theta}{\sin \theta} $ بین $1 $ و $ \frac{1}{\cos \theta} $ قرار داره و هر دوی این توابع به $ 1 $ میل میکنن، تابع وسطی هم بنابر قضیه فشردگی، به $ 1 $ میل میکنه. یعنی $ \lim_{ \theta \rightarrow 0} \frac{\sin \theta}{\theta} $ . (وقتی حد $ \frac{f}{g} $ وقتی $ x $ به $ a $ میل کنه، وجود داشته باشه، حد $ \frac{g}{f} $ هم وجود داره و برابر معکوس حد $ f $ بر $ g $ هستش البته به شرطی که حد تک تک توابع $f , g $ در $a $ موجود باشن.) توجه میکنیم که $ \theta$ بر حسب رادیانه.

این اثبات کاملشه اما اگه بخوایم شهودی به قضیه نگاه کنیم، شکل این تابع در کتاب حسابان قدیم، وجود داره که میتونین بهش مراجعه کنین.

توسط hadisnoori (213 امتیاز)
+2
بسیار عالی بود و اگر بخواهیم نکته تستی این سوال را برای کنکوریها بازگو کنیم این است که: $sin x$ وقتی $x$ به سمت صفر میل میکند هم ارز $x$ است.
توسط eski (336 امتیاز)
ویرایش شده توسط admin
+2

جواب ابن سوالو از متن کتاب ریاضی سوم تجربی هم میتونید کمک بگیرید.تاهمیشه دم دستتون باشه

توسط eski (336 امتیاز)
+1
افشردگی نه دوست عزیز
{فشردگی}
توسط OXIDE (653 امتیاز)
+1
این قضیه به قضیه فشردگی، افشردگی، فشار و ساندویچ معروف است.
ضمنا در کتاب درسی حسابان از افشردگی استفاده شده.
توسط OXIDE (653 امتیاز)
+1
اثبات این قضیه در کتب درسی حسابان ، حساب دیفرانسیل و انتگرال و همینطور در
ریاضیات 3 تجربی موجود است.
+3 امتیاز
توسط Reza.S (805 امتیاز)
ویرایش شده توسط saderi7

می توان $\sin$ این گونه نوشت $$ \sin x=x-\frac{x^3}{3!}+ \frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+...\\ \Rightarrow \frac{\sin x}{x}=1-\frac{x^2}{3!}+ \frac {x^4} {5!}-...\\ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x}=1 $$

توسط aaa (191 امتیاز)
@AmirHosein
این رو چجوری نوشته؟
آیا این بست تیلور است؟
+3 امتیاز
توسط saderi7 (7,100 امتیاز)

$$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}=\lim_{x \to 0} \lim_{v \to 0}\frac{\sin (x+v)-\sin v}{x}\ =\lim_{v \to 0} \lim_{x \to 0}\frac{\sin (x+v)-\sin v}{x}=\lim_{v \to 0}\sin'v=\lim_{v\ \to 0} \cos v=1 $$

+1 امتیاز
توسط saderi7 (7,100 امتیاز)
ویرایش شده توسط saderi7

enter image description here

$$ \lim_{n \rightarrow \infty } \frac{\text{perimeter of circle}}{\text{perimeter of polygon}}=1 $$ $$ \lim_{n \rightarrow \infty } \frac{2 \pi}{2n\sin( \frac{\pi}{n} )}=1 $$ $$ \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{ \frac{\pi}{n} }{\sin \frac{\pi}{n} }=1 $$

حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...