به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+5 امتیاز
1,505 بازدید
در دبیرستان توسط فرید

دلیل حاصل عبارت $ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{sin x}{x} $ چرا میشه $1 $ ؟

4 پاسخ

+8 امتیاز
توسط zh
ویرایش شده توسط fardina

برای اینکه بفهمیم چرا حد $ \lim_{ \theta \rightarrow 0} \frac{\sin \theta}{\theta} $ میشه $1 $ ، قضیه مهم زیر رو در نظر میگیریم:

قضیه افشردگی : فرض کنید توابع $ f, g $ و $ h $ روی بازه ی $ I $ ی شامل $ a $ ، احتمالا بجز خود $ a $ ، تعریف شده باشند و به ازای هر $ x $ در $I $ که .$ x \neq a $ ، $ f(x) \leq g(x) \leq h(x) $ همچنین فرض کنید که هر دو حد توابع $f $ و $ h $ در $a $ موجود و برابر $l $ باشد، آنگاه $ \lim_{x \rightarrow a} g(x)=l $ است.

enter image description here

شکل بالا رو در نظر بگیرید. با توجه به اینکه $ \theta \neq 0 $ و $ | \theta | < \frac{\pi}{2} $ با مقایسه مساحت ها در شکل داریم: $$\sin \theta < \theta < \tan \theta\quad ,\theta > 0$$ $$\tan \theta < \theta < \sin \theta \quad ,\theta < 0 $$

بنابراین اگر $ \theta \neq 0 $ داریم $$ 1 < \frac{\theta}{\sin \theta} < \frac{1}{\cos \theta} $$ .

اما چون $ \cos \theta $ تابعی پیوسته است، لذا $ \lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{1}{\cos \theta} =1 $. حد تابع ثابت $ 1 $ نیز، وقتی $ \theta$ به $ 0 $ میل میکنه برابر با
$1 $ هستش. چون $ \frac{\theta}{\sin \theta} $ بین $1 $ و $ \frac{1}{\cos \theta} $ قرار داره و هر دوی این توابع به $ 1 $ میل میکنن، تابع وسطی هم بنابر قضیه فشردگی، به $ 1 $ میل میکنه. یعنی $ \lim_{ \theta \rightarrow 0} \frac{\sin \theta}{\theta} $ . (وقتی حد $ \frac{f}{g} $ وقتی $ x $ به $ a $ میل کنه، وجود داشته باشه، حد $ \frac{g}{f} $ هم وجود داره و برابر معکوس حد $ f $ بر $ g $ هستش البته به شرطی که حد تک تک توابع $f , g $ در $a $ موجود باشن.) توجه میکنیم که $ \theta$ بر حسب رادیانه.

این اثبات کاملشه اما اگه بخوایم شهودی به قضیه نگاه کنیم، شکل این تابع در کتاب حسابان قدیم، وجود داره که میتونین بهش مراجعه کنین.

توسط hadisnoori
+2
بسیار عالی بود و اگر بخواهیم نکته تستی این سوال را برای کنکوریها بازگو کنیم این است که: $sin x$ وقتی $x$ به سمت صفر میل میکند هم ارز $x$ است.
توسط eski
ویرایش شده توسط admin
+2

جواب ابن سوالو از متن کتاب ریاضی سوم تجربی هم میتونید کمک بگیرید.تاهمیشه دم دستتون باشه

توسط eski
+1
افشردگی نه دوست عزیز
{فشردگی}
توسط OXIDE
+1
این قضیه به قضیه فشردگی، افشردگی، فشار و ساندویچ معروف است.
ضمنا در کتاب درسی حسابان از افشردگی استفاده شده.
توسط OXIDE
+1
اثبات این قضیه در کتب درسی حسابان ، حساب دیفرانسیل و انتگرال و همینطور در
ریاضیات 3 تجربی موجود است.
+2 امتیاز
توسط Reza.S
ویرایش شده توسط saderi7

می توان $\sin$ این گونه نوشت $$ \sin x=x-\frac{x^3}{3!}+ \frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+...\\ \Rightarrow \frac{\sin x}{x}=1-\frac{x^2}{3!}+ \frac {x^4} {5!}-...\\ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x}=1 $$

+2 امتیاز
توسط saderi7

$$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}=\lim_{x \to 0} \lim_{v \to 0}\frac{\sin (x+v)-\sin v}{x}\ =\lim_{v \to 0} \lim_{x \to 0}\frac{\sin (x+v)-\sin v}{x}=\lim_{v \to 0}\sin'v=\lim_{v\ \to 0} \cos v=1 $$

+1 امتیاز
توسط saderi7
ویرایش شده توسط saderi7

enter image description here

$$ \lim_{n \rightarrow \infty } \frac{\text{perimeter of circle}}{\text{perimeter of polygon}}=1 $$ $$ \lim_{n \rightarrow \infty } \frac{2 \pi}{2n\sin( \frac{\pi}{n} )}=1 $$ $$ \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{ \frac{\pi}{n} }{\sin \frac{\pi}{n} }=1 $$

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...