به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+1 امتیاز
755 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط anahita1
ویرایش شده توسط anahita1

مینیمم تابع دو متغیره زیر را با توجه به محدودیت g با استفاده از روش لاگرانژ محاسبه نمایید.

$$f(x,y)=2y+x\\ g(x,y)=y^2+xy-1=0$$

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط AmirHosein

شما تعریف روش ضرایب لاگرانژ را اصلا نگاه کرده‌اید؟ واقعا هیچ چیزی غیر از جایگذاری در تعریف ضرایب لاگرانژ و اقدام به ساده‌سازی ندارد.

تعریف کنید $h(x,y,\lambda):=f(x,y)+\lambda f(x,y)$ پس $h=x+2y+\lambda(y^2+xy-1)$. اکنون مشتق‌های پاره‌ای $h$ را نسبت به $x$ و $y$ و $\lambda$ محاسبه و دستگاه قرار دادن این مشتق‌ها برابر صفر را حل کنید. دستگاه برابر است با: $$\left\lbrace\begin{array}{l}1+\lambda y=0\\ 2+\lambda(2y+x)=0\\ y^2+xy-1=0\end{array}\right.$$ برابری یکم را که حل کنید دارید $y=\frac{-1}{\lambda}$. با جایگذاری آن در برابری دوم دارید $x=0$ و با جایگذاری هر دو در برابری سوم دارید $\lambda=\pm 1$. اکنون دو نقطه دارید $(0,1)$ و $(0,-1)$. با جایگذاری آن دو در تابع $f$، یکمی $2$ و دومی $-2$ می‌دهد. پس کمینهٔ تابع‌تان زمانیکه به خمینهٔ $g=0$ محدود شده‌است در نقطهٔ $(0,-1)$ روی می‌دهد و مقدار $-2$ است.

دارای دیدگاه توسط anahita1
ممنونم از پاسخی که به سوال دادید.

با توجه به اینکه اخیرا هزینه های نگهداری سایت افزایش چشمگیر چند برابری داشته، محفل ریاضی نیازمند حمایت مالی شما است.

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

ابزارها:

سرگرمی: سودوکو جدید

رسم نمودار: Geogebra جدید

...