به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+1 امتیاز
127 بازدید
سوال شده در دبیرستان توسط hamid2222441
ویرایش شده توسط kazomano

مطلوب است محاسبه حد زیر : $ \lim_{n \rightarrow ∞} sin^{2}( \pi \sqrt{n ^{2}+n }) $

دارای دیدگاه توسط AmirHosein
+1
یک پرسش را چند بار در انجمن پست نکنید.
دارای دیدگاه توسط fardina
به احتمال زیاد سوالو اشتباه نوشتید؟اگر درست سوالو نوشتید که واضحه این سوال مقدار سینوس رو وقتی زاویه به بی نهایت میل میکنه میخواد که وجود ندارد.
دارای دیدگاه توسط kazomano
ویرایش شده توسط kazomano
من دوباره سوالو ویرایش کردم چون که اگه توان سوم ان منظورشون بود توان 2 رو که نوشتن پس توان 3 رو هم میتونستن بنویسن. احتمالا یه جمع جا انداخته بودن. همچنین sin رو توان دو نوشتن تا حد وجود داشته باشد. الان حد برابر سینوس پی دوم میشه.
دارای دیدگاه توسط saderi7
ویرایش شده توسط saderi7
اگر سینوس توان نداشته باشد دنباله واگراست .
اما اگر توان داشته باشد دنباله به یک همگراست !
دارای دیدگاه توسط fardina
+1
@kazomano
بله سوال قبلیشون واضح بود که اشتباه نوشتن. ولی جالب اینه که حتی زحمت نمیکشن بیان دیدگاه بگذارن یا سوالشونو ویرایش کنن که بدونیم واقعا منظور همینه یا نه!

1 پاسخ

+3 امتیاز
پاسخ داده شده توسط saderi7
انتخاب شده توسط hamid2222441
 
بهترین پاسخ

دنباله رو در نظر میگیریم :

$$a_n:=\sin (\pi\sqrt{n^2+n})$$

به دنباله مقدار $n\pi$ کم و اضافه میکنیم خواهیم داشت :

$$a_n:=\sin (\pi\sqrt{n^2+n}-n\pi+n \pi)$$

حال میدانیم که :

$$\sin (x+n \pi)=(-1)^n \sin x$$

در نتیجه خواهیم داشت :

$$a_n=(-1)^n\sin(\pi\sqrt{n^2+n}-n\pi)$$

در پی آن هستیم که حاصل حد زیر را حساب کنیم :

$$\lim_n ( a_n)^2=\lim_n \big((-1)^n\sin(\pi\sqrt{n^2+n}-n\pi)\big)^2 $$ $$\lim_n ( a_n)^2=\lim_n \big((-1)^{2n}\sin^2(\pi\sqrt{n^2+n}-n\pi)\big)$$ $$\lim_n ( a_n)^2=\lim_n \sin^2(\pi\sqrt{n^2+n}-n\pi)$$ $$\lim_n ( a_n)^2=\lim_n \sin^2\pi(\sqrt{n^2+n}-n)$$

حال ثابت میشود ( مزدوج ضرب و تقسیم کنید ) که :

$$\lim_n \pi(\sqrt{n^2+n}-n)=\frac{\pi}{2} $$

و همچنین میدانیم تابع $\sin x$ در همه جا پیوسته است در نتیجه خواهیم داشت :

$$\lim_n ( a_n)^2=\lim_n \sin^2(\dfrac{\pi}{2})=1$$

با توجه به اینکه اخیرا هزینه های نگهداری سایت افزایش چشمگیر چند برابری داشته، محفل ریاضی نیازمند حمایت مالی شما است.

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

ابزارها:

سرگرمی: سودوکو جدید

رسم نمودار: Geogebra جدید

...