به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+1 امتیاز
180 بازدید
در دبیرستان توسط hamid2222441 (156 امتیاز)
ویرایش شده توسط kazomano

مطلوب است محاسبه حد زیر : $ \lim_{n \rightarrow ∞} sin^{2}( \pi \sqrt{n ^{2}+n }) $

توسط fardina (15,261 امتیاز)
+1
به احتمال زیاد سوالو اشتباه نوشتید؟اگر درست سوالو نوشتید که واضحه این سوال مقدار سینوس رو وقتی زاویه به بی نهایت میل میکنه میخواد که وجود ندارد.
توسط kazomano (2,349 امتیاز)
ویرایش شده توسط kazomano
+1
من دوباره سوالو ویرایش کردم چون که اگه توان سوم ان منظورشون بود توان 2 رو که نوشتن پس توان 3 رو هم میتونستن بنویسن. احتمالا یه جمع جا انداخته بودن. همچنین sin رو توان دو نوشتن تا حد وجود داشته باشد. الان حد برابر سینوس پی دوم میشه.
توسط saderi7 (7,085 امتیاز)
ویرایش شده توسط saderi7
اگر سینوس توان نداشته باشد دنباله واگراست .
اما اگر توان داشته باشد دنباله به یک همگراست !
توسط fardina (15,261 امتیاز)
+1
@kazomano
بله سوال قبلیشون واضح بود که اشتباه نوشتن. ولی جالب اینه که حتی زحمت نمیکشن بیان دیدگاه بگذارن یا سوالشونو ویرایش کنن که بدونیم واقعا منظور همینه یا نه!

1 پاسخ

+3 امتیاز
توسط saderi7 (7,085 امتیاز)
انتخاب شده توسط hamid2222441
 
بهترین پاسخ

دنباله رو در نظر میگیریم :

$$a_n:=\sin (\pi\sqrt{n^2+n})$$

به دنباله مقدار $n\pi$ کم و اضافه میکنیم خواهیم داشت :

$$a_n:=\sin (\pi\sqrt{n^2+n}-n\pi+n \pi)$$

حال میدانیم که :

$$\sin (x+n \pi)=(-1)^n \sin x$$

در نتیجه خواهیم داشت :

$$a_n=(-1)^n\sin(\pi\sqrt{n^2+n}-n\pi)$$

در پی آن هستیم که حاصل حد زیر را حساب کنیم :

$$\lim_n ( a_n)^2=\lim_n \big((-1)^n\sin(\pi\sqrt{n^2+n}-n\pi)\big)^2 $$ $$\lim_n ( a_n)^2=\lim_n \big((-1)^{2n}\sin^2(\pi\sqrt{n^2+n}-n\pi)\big)$$ $$\lim_n ( a_n)^2=\lim_n \sin^2(\pi\sqrt{n^2+n}-n\pi)$$ $$\lim_n ( a_n)^2=\lim_n \sin^2\pi(\sqrt{n^2+n}-n)$$

حال ثابت میشود ( مزدوج ضرب و تقسیم کنید ) که :

$$\lim_n \pi(\sqrt{n^2+n}-n)=\frac{\pi}{2} $$

و همچنین میدانیم تابع $\sin x$ در همه جا پیوسته است در نتیجه خواهیم داشت :

$$\lim_n ( a_n)^2=\lim_n \sin^2(\dfrac{\pi}{2})=1$$

حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...