به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+2 امتیاز
95 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط malihe
ویرایش شده توسط fardina

اگر به ازای $ \alpha $ ای داشته باشیم $ f \in R( \alpha )$ آنگاه $f \in R$

1 پاسخ

0 امتیاز
پاسخ داده شده توسط Maisam.Hedyehloo
نمایش از نو توسط Maisam.Hedyehloo

سلام دوست عزیز.

راهنمایی: گزاره فوق صحیح نیست.

مثال نقض: مثال زیر را نگاه کن

تابع $f$ بر بازه $[0,1]$, $f=1_{\mathbb{Q} \cap [0,\frac{1}{2}]}$ را در نظر بگیرید.

و تابع $\alpha$ بر روی بازه $[0,\frac{1}{2}]$. ثابت یک باشد باشد. بوضوح انتگرال ریمان اشتلیس $f$ نسبت به $\alpha(x)=1$ موجود و برابر صفر است ولی نسبت به $\alpha(x)=x$ انتگرال پذیر نیست. چونکه مقدار انتگرال بالایی برابر یک و انتگرال پایینی صفر می باشد.

در این صورت :

$ f \notin {\cal R}(x)$ ولی $ f\in{\cal R}(\alpha)\ $.

و همچنین فصل ششم کتاب رودین. قضیه زیبایی بیان کرده که ارتباط این دو انتگرال را بیان می کنه. منبع: MSE

دارای دیدگاه توسط malihe
–3
بله درسته متاسفانه روی سوال را کامل ننوشتم ، میشه در مورد تابع fکه معرفی کردید بیش تر توضیح بدید و چرا انتگرال ریمان اشتیل  -یس دارد؟
دارای دیدگاه توسط fardina
@Maisam.Hedyehlo
احیانا اشتباه تایپی بوده؟ نوشتید تابع $f$ بر بازه $[0,1]$ ولی بعدش بربازه $[0,\frac12]$ تعریف کردید.
دارای دیدگاه توسط Maisam.Hedyehloo
ویرایش شده توسط Maisam.Hedyehloo
@fardina نه تفاوتی نداره چون طبق تعریف تابع خی روی بازه نیم تا ۱   صفر است و  همچنین  تابع آلفا روی بازه صفر تا نیم تعریف بشود کافیه است چون تابع f روی بازه نیم تا ۱ صفر است.
دارای دیدگاه توسط Maisam.Hedyehloo
تعاریف محاسبه انتگرال بالایی و پایینی را دنبال کن.کتاب رودین را یه نگاه بنداز.  محاسبش راحته.
دارای دیدگاه توسط fardina
بله تفاوتی ایجاد نمیکنه فقط در نگاه اول که من خواندم فکر کردم دلیل خاصی داره که به جای تابع مشخصه اعداد گویای واقع در صفر و یک، تابع مشخصه اعداد گویای واقع در صفر و یک دوم را گرفتید.
یعنی اگر تابع دیریکله را روی بازه صفر و یک می گرفتیم با تابع ثابت $\alpha$ نتیجه حاصل میشد.

با توجه به اینکه اخیرا هزینه های نگهداری سایت افزایش چشمگیر چند برابری داشته، محفل ریاضی نیازمند حمایت مالی شما است.

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

ابزارها:

سرگرمی: سودوکو جدید

رسم نمودار: Geogebra جدید

...