به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+2 امتیاز
376 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط
ویرایش شده توسط

با استفاده از لم فاتو ثابت کنید: $ \mu (\liminf A_n) \leq \liminf \mu (A_n) $

دارای دیدگاه توسط
+2
چه تلاشی برای حلش داشتین؟
دارای دیدگاه توسط
+2
به نظرتون در لم فاتو که میگه $\int\liminf f_n\leq \liminf\int f_n$ باید دنباله $f_n$را چی بگیریم؟
دارای دیدگاه توسط
انتقال داده شده توسط
+1

@fa فکر کنم باید اینطوری باشه: تعریف میکنیم: $ f_n= \chi_ {A_n} $ ,در اینصورت داریم: $ \mu (lim infA_n)= \ \int liminf \chi _{A_n}d \mu \leq liminf \int \chi _{A_n}d \mu =liminf \mu (A_n) $ درسته؟

دارای دیدگاه توسط
ویرایش شده توسط
+1
کاملا درسته.
اینکه $\liminf\int \chi_{A_n}=\liminf \mu(A_n)$ هم درسته. ولی دلیل تساوی$\int\liminf\chi_{A_n}=\mu(\liminf A_n)$ رو ننوشتید.
فقط کافیه توجه کنید که $\liminf A_n=\sup_{k\geq 1}\inf_{n\geq k} A_n$ و $\inf\chi_{A_n}=\chi_{\cap A_n}$  و $\sup_n\chi_{A_n}=\chi_{\cup A_n}$.
دارای دیدگاه توسط
+1
@faمیشه لطف کنید دلیل تساوی دوم رو یه مقدار شفاف تر توضیح بدین؟؟؟راستش من این تساوی به نظرم بدیهی اومده بود که نوشتم

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط
ویرایش شده توسط
$\int \liminf \chi_{A_n}=\int\sup_{k\geq 1}\inf_{n\geq k}\chi_{A_n}=\int \chi_{(\cup_{k\geq 1}\cap_{n\geq k}A_n)}=\mu(\cup_{k\geq 1}\cap_{n\geq k}A_n)=\mu(\liminf A_n)$
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
حمایت مالی
...