به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+1 امتیاز
241 بازدید
در دانشگاه توسط
ویرایش شده توسط admin

اگر $E $ یک زیر مجموعه اعداد حقیقی باشد به طوری که $ m^{*} \big(E\big) >0 $ آنگاه $ E$ شامل یک مجموعه اندازه ناپذیر است.

1 پاسخ

می توانید به پاسخ(ها) امتیاز دهید یا آن را انتخاب کنید.

+1 امتیاز
توسط erfanm (13,004 امتیاز)
ویرایش شده توسط erfanm

چون اندازه ی خارجی$ E $ مثبت است لذا حتما ناشماراست.

اگر خود $ E $ اندازه ناپذیر باشد آنگاه اگر هر عضو مانند $a $ را حذف کنیم مجموعه ی $B=E \setminus \lbrace a\rbrace $ زیر مجموعه ای محض و اندازه ناپذیر از $ E $ است. چون اگر اندازه پذیر باشه اونوقت اجتماع دو مجموعه اندازه پذیر( $ \lbrace a\rbrace $ و$ B $ ) اندازه پذیر خواهد بود که طبق فرض چنین نیست.

اما اگر خود مجموعه ی $ E $ اندازه پذیر باشد آنگاه از اینکه اندازه ی خارجیش مثبته لذا با اندازه ی مثبت است.

اگر $ \mu(A)>0$ آنگاه $ A$ شامل یک زیر مجموعه اندازه ناپذیر است!

برای اثبات این مطلب مجموعه اندازه ناپذیر ویتالی $ N $ که در اینجا توضیح داده رو در نظر بگیرید.

در اینصورت:

**هر زیرمجموعه اندازه پذیر $N $ دارای اندازه صفر است.

زیرا اگر $ A\subset N $ آنگاه چون برای $ r\in R=[0,1)\cap\mathbb Q $ داریم $$ A_r=A+r\ mod1\subset N+r\ mod1 $$ و $ N_r $ها مجزا هستند و بازه صفر و یک را می پوشانند. (توجه کنید که بدون کاستن کلیت مساله می توان فرض کرد که $A\subset [0,1) $ ) پس: $$ 1\geq \mu(A)=\mu(\bigcup_{r\in R}\mu(A_r)=\sum_{r\in R}\mu(A_r)=\sum_{r\in R}\mu(A) $$ پس اگر $\mu(A)>0 $ آنگاه سری بالا بی نهایت می شود در حالیکه کوچکتر از $ 1 $ است و این یک تناقض است.

حال برای اثبات مطلب بالا فرض کنید $A\subset [0,1) $ و $ \mu(A)>0 $ باشد. در اینصورت چون $ N_r$ ها ( $r\in R $ ) مجزا بوده و بازه صفر و یک را می پوشانند لذا $A=\bigcup_{r\in R}(A\cap N_r) $ و اگر همه ی $ A\cap N_r $ها اندازه پذیر باشند آنگاه بنابر مطلب بالا اندازه آنها صفر بوده و لذا داریم: $$0< \mu(A)=\sum_{r\in R}\mu(A\cap N_r)=\sum_{r\in R}0=0 $$ که تناقض است لذا حداقل یکی از $A\cap N_r $ ها اندازه ناپذیر است.


برای انجام اثبات بالا از اثباتی که اینجا آمده استفاده شده است.


حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...