به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+2 امتیاز
183 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط bahars
ویرایش شده توسط fardina

اگر $(X, \Im , \mu )$ یک فضای اندازه $ \sigma $ - متناهی باشد نشان دهید هر $D \in \Im $ یک مجموعه $ \sigma $ - متناهی است.

تعریف1: یک اندازه $ \mu $ روی یک $ \sigma $ - جبر $ \Im $ از زیرمجموعه های $X$ را $ \sigma $ - متناهی نامیم اگر وجود داشته باشد یک دنباله $( E_{n} : n \in N )$ در $ \Im $ به طوری که $ \bigcup E_{n}=X $ و برای هر $ n \in N $ داشته باشیم $ \mu (E_{n})< \infty $.

تعریف 2: یک مجموعه $D \in \Im $ را در یک فضای اندازه دلخواه $(X, \Im , \mu )$ یک مجموعه $ \sigma $ - متناهی نامیم اگر وجود داشته باشد یک دنباله $( D_{n} : n \in N )$ در $ \Im $ به طوری که $ \bigcup D_{n}=D $ و برای هر $ n \in N $ داشته باشیم $ \mu (D_{n})< \infty $.

دارای دیدگاه توسط fardina
+1
من درست متوجه سوال نمیشم. چند چیز به ذهنم میرسه ولی نمیدونم کدومش مدنظر شماست!
منظور شما این هست که $\mu$ یک اندازه سیگمامتناهی روی $(X,\mathcal M)$ است و حال اگر $E\in\mathcal M$ اندازه پذیر باشد می خواهید یک سیگماجبر $\mathcal N$ روی زیرمجموعه های $E$ و یک اندازه سیگمامتناهی روی $(E, \mathcal N)$ بدست آورید؟
دارای دیدگاه توسط bahars
ممنونم
سوال دقیقا این است : نشان دهید اگر µ یک اندازه سیگما  متناهی بر(  X,M )  باشد در این صورت هر مجموعه اندازه پذیر دارای اندازه  سیگما متناهی است
دارای دیدگاه توسط bahars
–1
من به این صورت حل کردم :چون µ یک اندازه سیگما متناهی است بنابر این هر دنباله مثل (XI)  که اجتماع XI    ها می شودX در نظر بگیریم (XI)µ متناهی است بنابراین به ازای هر AI عضو سیگما جبر M که در نظر بگیریم:
اگر در نظر بگیریم :  اجتماع AI = A
(AI)µ ∑ (A)= µ  و چون هرکدام از (AI)µ ها متنهای هستند پس  (A) µ  نیز متناهی است
دارای دیدگاه توسط fardina
+1
تعریف سیگما متناهی چیست؟
به نظر میرسه شما باید مطالعه بیشتری داشته باشید. تعارف و قضایا را خوب درک کنید. بعد از آن می توانید به حل مسائل بپردازید و کمک بخواهید.
دارای دیدگاه توسط fardina
+1
@Maisam.Hedyehloo
به نظرم دیگه به صورت پاسخ میذاشتین بهتر بود تا کامنت.

2 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط Maisam.Hedyehloo
ویرایش شده توسط Maisam.Hedyehloo
 
بهترین پاسخ

$(X,B,\mu)$ فضای اندازه سیگما متناهی در این صورت داریم

$X\subset \cup_{i=1}^{\infty} X_i$
که $\mu(X_i)$ $\gt$ $\infty$

به ازای هر مجموعه اندازه $E$ داریم :

$E=X\cap E\subset \cup_{i=1}^{\infty}E\cap X_i$

$\mu(X_i\cap E )$ $\gt$ $\infty$

دارای دیدگاه توسط kazomano
@Maisam.Hedyehlo
شما تعریف رو زیرمجموعه درنظر گرفتید. من ندیدم زیرمجموعه تعریف کنن. مرجعی دارید که تعریف شما مدنظرش باشه؟
دارای دیدگاه توسط fardina
+1
@kazomano
چون گفتن اندازه اون‌مجموعه ها متناهی باشه پس بطور ضمنی اندازه پذیری آنها رو مد نظر داشتن.
دارای دیدگاه توسط kazomano
@fardina
نه ایشون ثابت کردن که مجموعه E زیرمجموعه فلان اجتماعه پس سیگما متناهیه. یعنی تعریف اصلی زیرمجموعه بودن رو میخواد یا باید تساوی رو نشون داد؟
دارای دیدگاه توسط fardina
+1
@kazomano
برابری ها هم واضح هستن. چون $X_i$ ها زیرمجموعه $X$ هستن پس اجتماعشون هم زیر مجموعه $X$ هست لذا برابرند. و همینطور در مورد $E\cap X_i$ ها که همگی زیرمجموعه $E$ هستن.
دارای دیدگاه توسط kazomano
@fardina
درست میگید.
+1 امتیاز
پاسخ داده شده توسط kazomano

گیریم $(X, \Im , \mu )$ یک فضای اندازه $ \sigma $ - متناهی باشد. طبق تعریف وجود دارد یک دنباله $( E_{n} : n \in N )$ در $ \Im $ به طوری که $ \bigcup E_{n}=X $ و برای هر $ n \in N $ داریم $ \mu (E_{n})< \infty $. گیریم $D \in \Im $ . برای هر $n \in N$ گیریم $ D_{n} =D \bigcap E_{n} $. در این صورت $( D_{n} : n \in N )$ دنباله‌ای در $ \Im $ و $ \bigcup D_{n}=D $ و برای هر $n \in N$ داریم $ \mu ( D_{n} \leq \mu ( E_{n} )< \infty $. پس $D$ یک مجموعه $ \sigma $ - متناهی می باشد.

دارای دیدگاه توسط bahars
–1
از همه شما بزرگواران کمال تشکر و سپاس رو دارم م ممنون بابت وقت و حوصله ای که گذاشتید

ولی میخواستم بگم مسلمه که دانشجوی ترم اول ارشد  هنوز مثل شما بزرگواران وارد به نحوه صحیح درس خوندن و تحقیق و پژوهش نشده و بنابر این اگر به جای تحقیر و سرزنش راهنمایی بشه خیلی اثر بیشتری داره همینطور نحوه برخورد با کسی که اولین باره سوالی رو از سایت وزین و ارزشمند شما میپرسه نباید تند باشه در ضمن هنوزم مطمئنم که تعریف من از سیگما متناهی درست و بی نقصه ممکنه نحوه تایپ مشکل داشته باشه


ممنون و بی نهایت سپاسگزارم
دارای دیدگاه توسط AmirHosein
@bahars کسی شما را سرزنش نکرده‌است. گفته‌اند در تعریف اشکال دارید که خود راهنمایی است. بعلاوه پس از چند بار دیدگاه گذاشتن و پیام خصوصی فرستادن شما هنوز یک مرجع را در پرسش‌تان ویرایش نکرده‌اید. اگر نام کتاب است که کاملش کنید و اگر نام کتابی نیست حذفش کنید. به همین سادگی.

با توجه به اینکه اخیرا هزینه های نگهداری سایت افزایش چشمگیر چند برابری داشته، محفل ریاضی نیازمند حمایت مالی شما است.

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

ابزارها:

سرگرمی: سودوکو جدید

رسم نمودار: Geogebra جدید

...