به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+2 امتیاز
307 بازدید
در دانشگاه توسط bahars (27 امتیاز)
ویرایش شده توسط fardina

اگر $(X, \Im , \mu )$ یک فضای اندازه $ \sigma $ - متناهی باشد نشان دهید هر $D \in \Im $ یک مجموعه $ \sigma $ - متناهی است.

تعریف1: یک اندازه $ \mu $ روی یک $ \sigma $ - جبر $ \Im $ از زیرمجموعه های $X$ را $ \sigma $ - متناهی نامیم اگر وجود داشته باشد یک دنباله $( E_{n} : n \in N )$ در $ \Im $ به طوری که $ \bigcup E_{n}=X $ و برای هر $ n \in N $ داشته باشیم $ \mu (E_{n})< \infty $.

تعریف 2: یک مجموعه $D \in \Im $ را در یک فضای اندازه دلخواه $(X, \Im , \mu )$ یک مجموعه $ \sigma $ - متناهی نامیم اگر وجود داشته باشد یک دنباله $( D_{n} : n \in N )$ در $ \Im $ به طوری که $ \bigcup D_{n}=D $ و برای هر $ n \in N $ داشته باشیم $ \mu (D_{n})< \infty $.

توسط AmirHosein (8,401 امتیاز)
ویرایش شده توسط AmirHosein
به دیدگاهی که برای پرسش دیگرتان پیرامون مرجع نوشتم نگاه بیندازید! بعلاوه نوشتن فرمول‌های ریاضی واقعا چه سختی دارد؟ یعنی بیشتر از زمانی که پاسخ‌دهندگان برای نوشتن پاسخ‌ صرف می‌کنند از شما وقت خواهد گرفت؟ به جای مو می‌توانستید در داخل دو تا دلار \mu تایپ کنید، آنگاه $\mu$ یعنی حرف یونانی مورد نظر نمایش داده‌می‌شد. در فارسی مو یک معنا دارد که مطمئنا چیزی که شما منطورتان است نیست.
توسط bahars (27 امتیاز)
–1
فکر میکنم شما اصل سوال رو نادیده میگیرید و به جوانب متفرقه بیشتر اهمیت میدهید
چشم از این به بعد رعایت میکنم
سختی نداشت اتفاقا از سیمبل های ریاضی هم استفاده کردم ولی وقتی دیدم به جای حرف مورد نظرم دوحرف انگلیسی MU تایپ شد منصرف شدم
توسط fardina (15,063 امتیاز)
+1
من درست متوجه سوال نمیشم. چند چیز به ذهنم میرسه ولی نمیدونم کدومش مدنظر شماست!
منظور شما این هست که $\mu$ یک اندازه سیگمامتناهی روی $(X,\mathcal M)$ است و حال اگر $E\in\mathcal M$ اندازه پذیر باشد می خواهید یک سیگماجبر $\mathcal N$ روی زیرمجموعه های $E$ و یک اندازه سیگمامتناهی روی $(E, \mathcal N)$ بدست آورید؟
توسط bahars (27 امتیاز)
ممنونم
سوال دقیقا این است : نشان دهید اگر µ یک اندازه سیگما  متناهی بر(  X,M )  باشد در این صورت هر مجموعه اندازه پذیر دارای اندازه  سیگما متناهی است
توسط bahars (27 امتیاز)
–1
من به این صورت حل کردم :چون µ یک اندازه سیگما متناهی است بنابر این هر دنباله مثل (XI)  که اجتماع XI    ها می شودX در نظر بگیریم (XI)µ متناهی است بنابراین به ازای هر AI عضو سیگما جبر M که در نظر بگیریم:
اگر در نظر بگیریم :  اجتماع AI = A
(AI)µ ∑ (A)= µ  و چون هرکدام از (AI)µ ها متنهای هستند پس  (A) µ  نیز متناهی است
توسط fardina (15,063 امتیاز)
+1
تعریف سیگما متناهی چیست؟
به نظر میرسه شما باید مطالعه بیشتری داشته باشید. تعارف و قضایا را خوب درک کنید. بعد از آن می توانید به حل مسائل بپردازید و کمک بخواهید.
توسط fardina (15,063 امتیاز)
+1
@Maisam.Hedyehloo
به نظرم دیگه به صورت پاسخ میذاشتین بهتر بود تا کامنت.

2 پاسخ

+2 امتیاز
توسط Maisam.Hedyehloo (589 امتیاز)
ویرایش شده توسط Maisam.Hedyehloo
 
بهترین پاسخ

$(X,B,\mu)$ فضای اندازه سیگما متناهی در این صورت داریم

$X\subset \cup_{i=1}^{\infty} X_i$
که $\mu(X_i)$ $\gt$ $\infty$

به ازای هر مجموعه اندازه $E$ داریم :

$E=X\cap E\subset \cup_{i=1}^{\infty}E\cap X_i$

$\mu(X_i\cap E )$ $\gt$ $\infty$

توسط kazomano (2,117 امتیاز)
@Maisam.Hedyehlo
شما تعریف رو زیرمجموعه درنظر گرفتید. من ندیدم زیرمجموعه تعریف کنن. مرجعی دارید که تعریف شما مدنظرش باشه؟
توسط fardina (15,063 امتیاز)
+1
@kazomano
چون گفتن اندازه اون‌مجموعه ها متناهی باشه پس بطور ضمنی اندازه پذیری آنها رو مد نظر داشتن.
توسط kazomano (2,117 امتیاز)
@fardina
نه ایشون ثابت کردن که مجموعه E زیرمجموعه فلان اجتماعه پس سیگما متناهیه. یعنی تعریف اصلی زیرمجموعه بودن رو میخواد یا باید تساوی رو نشون داد؟
توسط fardina (15,063 امتیاز)
+1
@kazomano
برابری ها هم واضح هستن. چون $X_i$ ها زیرمجموعه $X$ هستن پس اجتماعشون هم زیر مجموعه $X$ هست لذا برابرند. و همینطور در مورد $E\cap X_i$ ها که همگی زیرمجموعه $E$ هستن.
توسط kazomano (2,117 امتیاز)
@fardina
درست میگید.
+1 امتیاز
توسط kazomano (2,117 امتیاز)

گیریم $(X, \Im , \mu )$ یک فضای اندازه $ \sigma $ - متناهی باشد. طبق تعریف وجود دارد یک دنباله $( E_{n} : n \in N )$ در $ \Im $ به طوری که $ \bigcup E_{n}=X $ و برای هر $ n \in N $ داریم $ \mu (E_{n})< \infty $. گیریم $D \in \Im $ . برای هر $n \in N$ گیریم $ D_{n} =D \bigcap E_{n} $. در این صورت $( D_{n} : n \in N )$ دنباله‌ای در $ \Im $ و $ \bigcup D_{n}=D $ و برای هر $n \in N$ داریم $ \mu ( D_{n} \leq \mu ( E_{n} )< \infty $. پس $D$ یک مجموعه $ \sigma $ - متناهی می باشد.

توسط bahars (27 امتیاز)
–1
از همه شما بزرگواران کمال تشکر و سپاس رو دارم م ممنون بابت وقت و حوصله ای که گذاشتید

ولی میخواستم بگم مسلمه که دانشجوی ترم اول ارشد  هنوز مثل شما بزرگواران وارد به نحوه صحیح درس خوندن و تحقیق و پژوهش نشده و بنابر این اگر به جای تحقیر و سرزنش راهنمایی بشه خیلی اثر بیشتری داره همینطور نحوه برخورد با کسی که اولین باره سوالی رو از سایت وزین و ارزشمند شما میپرسه نباید تند باشه در ضمن هنوزم مطمئنم که تعریف من از سیگما متناهی درست و بی نقصه ممکنه نحوه تایپ مشکل داشته باشه


ممنون و بی نهایت سپاسگزارم
توسط AmirHosein (8,401 امتیاز)
@bahars کسی شما را سرزنش نکرده‌است. گفته‌اند در تعریف اشکال دارید که خود راهنمایی است. بعلاوه پس از چند بار دیدگاه گذاشتن و پیام خصوصی فرستادن شما هنوز یک مرجع را در پرسش‌تان ویرایش نکرده‌اید. اگر نام کتاب است که کاملش کنید و اگر نام کتابی نیست حذفش کنید. به همین سادگی.

حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...