به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+1 امتیاز
59 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط hassan7121
ویرایش شده توسط erfanm

فرض کنید $ \triangle $ یک مجتمع سادکی و $ f_i$ تعداد $i$-face باشد. اگر $$ ... C_1( \triangle) \longrightarrow C_0( \triangle) \longrightarrow C_{-1}( \triangle ) =K \longrightarrow 0, $$ $ argumrnted\ \ chain\ \ complex$ باشد نشان دهید $$ dim_{K}(Z_1)=dim_{K}(ker( \delta _1))=f_1-f_0+r $$ که در آن $ r $ تعداد مولفه های همبندی $ \triangle $ است.

متن اصلی سوال:

Let $ \triangle $ be a simplicial complex and $ f_i$ the number of $i-$faces of $ \delta$. If $$ ... C_1( \triangle ) \longrightarrow C_0( \triangle ) \longrightarrow C_{-1}( \triangle ) =K \longrightarrow 0, $$ is the argumrnted chain complex of $ \delta $ over a field $ K $, then $dim_{K}(Z_1) $ is equal to

$$f_1-f_0+r; $$ where $ r$ is the number of connected components of $ \delta $ and $$ Z_1=ker( \delta _1). $$

Note that $ \delta _i$'s are $R-$homomorphism from $ C_{i}( \triangle ) $ to $ C_{i-1}( \triangle ). $ O

مرجع: R.H. Villareal, Monomial Algebra, 2nd edition, CRC Press, Exerrcise 6.2.8, page 212
دارای دیدگاه توسط AmirHosein
+1
در قوانین سایت نوشته‌شده‌است پرسش‌ها را به زبان فارسی بنویسید.

1 پاسخ

+1 امتیاز
پاسخ داده شده توسط erfanm

در کتابی که به عنوان منبع نوشتید ثابت شده است که $$ \overline{H}_0( \bigtriangleup ,A)=r-1 $$ در حالی که $$dim_{K}( \overline{H}_0( \bigtriangleup ,A))=dim_{K}(ker( \delta _0))-dim_{K}(Im( \delta _1))$$

از طرف دیگر داریم $f_0= dim_{K}(C_0( \triangle ))=dim_{K}(ker( \delta _0))+dim_{K}(Im( \delta _0))$ پس $$f_0=dim_{K}(ker( \delta _0))+1 \Rightarrow dim_{K}(ker( \delta _0))=f_0-1 $$ با جایگذاری در رابطه اول در بالا داریم: $$r-1=f_0-1-dim_{K}(Im( \delta _1)) \Rightarrow dim_{K}(Im( \delta _1))=f_0-r $$

از طرف دیگر داریم: $f_1= dim_{K}(C_1( \triangle ))=dim_{K}(ker( \delta _1))+dim_{K}(Im( \delta _1))$ که با جایگذاری رابطه بدست آمده داریم: $$f_1=dim_{K}(ker( \delta _1))+f_0-r $$ پس $$dim_{K}(ker( \delta _1))=f_1-f_0+r $$

دارای دیدگاه توسط m.jafari
ممنون از پاسختون دکتر..خیلی عالی بود.فقط خط اول اثباتتون مربوط به کدوم صفحه از کتاب ویلاریل هست.ممنونم
دارای دیدگاه توسط erfanm
@m.jafari
سلام . خواهش می کنم
 در اانتهای صفحه 210 در فصل 6 کتاب یعنی Proposition 6.2.3  آمده است.

با توجه به اینکه اخیرا هزینه های نگهداری سایت افزایش چشمگیر چند برابری داشته، محفل ریاضی نیازمند حمایت مالی شما است.

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

ابزارها:

سرگرمی: سودوکو جدید

رسم نمودار: Geogebra جدید

...