به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+1 امتیاز
64 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط

با توجه به انتگرال معین حاصل زیر را محاسبه کنید. $$ \lim_{n \rightarrow \infty } \lbrace \frac{1}{ \sqrt{n^2+1^2} } +...+ \frac{1}{ \sqrt{n^2+n^2} } \rbrace $$

(من خودم هر کسر رو گویاش کردم و بعد از$ \frac{1}{n} $ فاکتور گرفتم و یه خورده جلو رفتم دیگه نمی دونم باید چی کار کنم!!!)

1 پاسخ

+1 امتیاز
پاسخ داده شده توسط
انتخاب شده توسط
 
بهترین پاسخ
$$ \begin{align}\lim_{n \rightarrow \infty} (\frac{1}{\sqrt{n^2 + 1}} + ... + \frac{1}{\sqrt{n^2 + n^2}}) &= \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}(\frac{1}{\sqrt{1 + (\frac{1}{n})^2}} + ... + \frac{1}{\sqrt{1 + (\frac{n}{n})^2}}) \\ &= \lim_{n \rightarrow \infty}\frac{1}{n}\sum^n_{k=1}{\frac{1}{\sqrt{1 + (\frac{k}{n})^2}}} \end{align} $$

طبق تعریف انتگرال ریمان برابر است با:

$$ \int_0^1{\frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}dx} $$

همچنین داریم: $$ \int{\frac{1}{\sqrt{a^2 + x^2}}dx} = \ln|x + \sqrt{x^2 + a^2}| + C $$

به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
حمایت مالی
...