به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+1 امتیاز
78 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط mansoormahabadi

فرض کنید f یک تابع حقیقی پیوسته بر (a,b) باشد به طوری که به ازای هر x و y در (a,b) داشته باشیم $$f( \frac{x+y}{2}) \leq \frac{1}{2}(f(x)+f(y)) $$ ثابت کنید f محدب است.(اگر پیوستگی از مفروضات حذف شود نتیجه درست نیست)

1 پاسخ

+1 امتیاز
پاسخ داده شده توسط kazomano
ویرایش شده توسط kazomano

رابطه ای که نوشتین به تحدب ینسن معروفه به راحتی به استقراء داریم

$$ f( \frac{ x_{1} +...+ x_{ 2^{k} } }{ 2^{k} } ) \leq \frac{f( x_{1} )+...+f( x_{ 2^{k} }) }{ 2^{k} } $$

که برای هر $k \in N $ و $ x_{1} ,..., x_{ 2^{k} } \in (a,b) $ برقراره. حالا $x,y \in (a,b)$ و $ \alpha \in (0,1)$ درنظر میگیریم. $ \alpha $ رو میتونیم به صورت بسط دودویی بنویسیم که میشه

$$ \alpha = \frac{ \alpha _{1} }{2} + \frac{ \alpha _{2} }{ 2^{k} } +...+ \frac{ \alpha _{k} }{ 2^{k} } +...$$

که $ \alpha _{i} \in \lbrace 0,1\rbrace $. حالا قرار میدیم

$$ \alpha ^{(k)} = \frac{ \alpha _{1} }{2} + \frac{ \alpha _{2} }{ 2^{k} } +...+ \frac{ \alpha _{k} }{ 2^{k} }= \frac{ \alpha _{1} 2^{k-1} +...+ \alpha _{k} }{ 2^{k} }= \frac{ \beta _{k} }{2^{k}} $$

داریم $ \lim_{k \rightarrow \infty } \alpha ^{(k)}= \alpha , 1- \alpha ^{(k)}= \frac{2^{k}- \beta _{k} }{2^{k}} $. حالا تو رابطه ای که گفتم به استقراء برقراره قرار میدیم

$$ x_{1} =...= x_{ \beta _{k} } =x , x_{ \beta _{k} +1} +...+ x_{2^{k}} =y$$

داریم $$f( \alpha ^{(k)}x+(1- \alpha ^{(k)})y)=f( \frac{( \beta _{k}+(2^{k} - \beta _{k})}{2^{k}}) \leq \frac{( \beta _{k}f(x)+(2^{k} - \beta _{k})f(y))}{2^{k}}= \alpha _{k}f(x)+(1- \alpha _{k})f(y) $$

حالا اگه حد بگیریم و از پیوستگی تابع استفاده کنیم نتیجه میشه که

$$f( \alpha x+(1- \alpha )y) \leq \alpha f(x)+(1- \alpha )f(y)$$

این یعنی تابع محدبه.

با توجه به اینکه اخیرا هزینه های نگهداری سایت افزایش چشمگیر چند برابری داشته، محفل ریاضی نیازمند حمایت مالی شما است.

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

ابزارها:

سرگرمی: سودوکو جدید

رسم نمودار: Geogebra جدید

...