به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+1 امتیاز
81 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط
ویرایش شده توسط

سلام حاصل انتگرال $\int \sqrt{1+\cosh^2x} dx $ رابیابید.

بنده سعی کردم از تغییر متغییر $u=1+\cosh^2x $ استفاده کنم. ولی به $\int \sqrt{u(u^2-3u+2)}du $ رسیدم و نتونستم حلش کنم.

1 پاسخ

+1 امتیاز
پاسخ داده شده توسط

با توجه به فرمول های توابع هذلولوی داریم $$I= \int \sqrt{1+ cosh^{2}x }dx= \int \sqrt{sinh^{2}x+2}dx= \sqrt{2} \int\sqrt{ \frac{sinh^{2}x}{2} +1}dx $$

حالا از تغییر متغیر $t=ix$ استفاده میکنیم داریم

$$I=- \sqrt{2}i \int \sqrt{1- \frac{sin^2t}{2} } dt $$

انتگرال به دست اومده انتگرال بیضوی نوع دومه https://en.wikipedia.org/wiki/Elliptic_integral#Incomplete_elliptic_integral_of_the_second_kind که با $E(t| \frac{1}{2}) $ نشون داده میشه پس انتگرال برابر

$$I=-\sqrt{2}iE(ix| \frac{1}{2})+c$$
دارای دیدگاه توسط
خیلی ممنون
آیا این انتگرال راه حلی نداره که برحسب توابع ساده بشه حلش کرد
دارای دیدگاه توسط
فکر نکنم. البته در این مورد آقای فردینا به قضیه لیوویل ارجاع دادن
https://en.m.wikipedia.org/wiki/Liouville's_theorem_(differential_algebra)
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
حمایت مالی
...