به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
0 امتیاز
431 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط tanara

مجموعه مرتب جزئی $\big(N,|\big)$ را در نظر بگیرید. ( اعداد طبیعی و رابطه عاد کردن) . عضو ماکسیمال و مینیمال و سوپریمم و اینفیمم و ماکسیمم و مینمم را در مجموعه زیر را بیابید: $ B=\{n\in N:n|360\} $

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط AmirHosein

واقعا تعریف‌ها را برای این مجموعهٔ جزئا مرتب چک کرده‌اید؟ یکی یا هر دوی مفهوم «ماکسیمم، ماکسیمال، مینیمم، مینیمال» و «رابطهٔ شمردن» را نفهمیده‌اید.

مجموعهٔ اعداد طبیعی یک تا شش را در نظر بگیرید. پس $S=\lbrace 1,2,3,4,5,6\rbrace$ اکنون با رابطهٔ شمردن داریم:

$$\begin{array}{l}1\leq 1,1\leq 2,1\leq 3,1\leq 4,1\leq 5, 1\leq6\\ 2\leq 2,2\leq 4, 2\leq6\\ 3\leq 3,3\leq 6\\ 4\leq 4\\ 5\leq 5\\ 6\leq 6\end{array}$$

تعریف ماکسیمم این بود «عضوی که از همهٔ اعضا بزرگتر یا مساوی باشد» این عضو در صورت وجود، یکتاست. چه عضوی از همهٔ اعضا بزرگتر یا مساوی است؟ هیچ کدام. پس این مجموعه هیچ عنصر ماکسیممی ندارد.

بیاییم بدون نگاه کردن به رابطه‌های بالا ماکسیمم را بررسی کنیم. اگر $a$ از $b$ بزرگتر یا مساوی باشد یعنی چه؟ یعنی $b$، $a$ را بشمارد یعنی $b$ مضربی از $a$ باشد. اکنون بزرگتر از چند عضو بودن یعنی مضربی همهٔ اون عضوها بودن. اگر عضوی مضرب چند عضو شود پس باید مضرب کوچکترین مضرب مشترک آنها هم بشود. اما در اینجا کوچکترین مضرب مشترک ۱ تا ۶ برابر با ۶۰ است. چون هیچ مضربی از ۶۰ در مجموعهٔ ۱ تا ۶ نیست پس ماکسیممی هم نداریم.

تعریف مینیمم این بود «عضوی که کوچکتر یا مساوی هر عضو دیگری باشد» این عضو نیز در صورت وجود، یکتاست. همان‌گونه که می‌بینید تنها عنصری که از همه کوچکتر یا مساوی است ۱ است.

با روش مشابه به قبل ولی برعکس می‌بینید که مینیمم باید شمارنده‌ای (عاملی) از تمامی اعضا شود. پس باید شمارندهٔ بزرگترین مقسوم‌علیه مشترکشان شود. چون ب.م.م. ۱ تا ۶ برابر با ۱ است پس باید شمارندهٔ ۱ باشد که تنها عضو صادق در این مورد در ۱ تا ۶ خود ۱ است.

اکنون ماکسیمال به چه معنا بود؟ ماکسیمال به معنای بزرگتر از همه نبود! بلکه به این معنا بود که بزرگتری از آن نباشد. ماکسمیال یکتا نیست وهمین باعث تعجب من است که چرا در متن پرسش نوشته‌اید «عضو» نه «اعضا»! زمانی که دلیلی بر یکتایی چیزی ندارید و نمی‌دانید یکی یا چندتا دارد می‌نویسند اعضای فلانِ مجموعه را بیابید نه عضوِ فلان مجموعه . آیا از ۱ بزرگتر هست؟ بلی، ۲. پس ۱ ماکسیمال نیست. آیا از ۲ بزرگتر هست؟ بلی، ۴. پس ۲ ماکسیمال نیست. آیا از ۳ بزرگتر هست؟ بلی، ۶. پس ۳ نیز ماکسیمال نیست. آیا از ۴ عضوی بزرگتر هست؟ خیر. پس ۴ ماکسیمال است. آیا از ۵ عضوی بزرگتر هست؟ خیر. پس ۵ ماکسیمال است. آيا از ۶ بزرگتر هست؟ خیر، پس ۶ ماکسیمال است. پس اعضای ماکسیمال $S$ برابرند با ۴، ۵ و ۶.

اکنون برای مینیمال. یک عنصر مینیمال است اگر عنصر دیگری از آن کوچکتر نشود. مینیمال نیز لزوما یکتا نیست. با روش مشابه می‌بینیم که $S$ یک مینیمال دارد و آن ۱ است.

نکتهٔ خیلی بدیهی این است که هر گاه ماکسیمم وجود داشته باشد، تنها یک ماکسیمال داریم. هر گاه چند ماکسیمال داشته باشیم، ماکسیمم نداریم. اما نمی‌توانیم بگوئیم که ماکسیمم وجود دارد اگر و تنها اگر یک ماکسیمال داشته‌باشیم (می‌توان مثالی معرفی کرد که یک ماکسیمال دارد ولی ماکسیمم ندارد!). نکتهٔ مشابه نیز برای مینیمم و مینیمال داریم.

با توجه به اینکه اخیرا هزینه های نگهداری سایت افزایش چشمگیر چند برابری داشته، محفل ریاضی نیازمند حمایت مالی شما است.

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

ابزارها:

سرگرمی: سودوکو جدید

رسم نمودار: Geogebra جدید

...