به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
0 امتیاز
652 بازدید
سوال شده در دبیرستان توسط AliPirasteh
دوباره دسته بندی کردن توسط AmirHosein

چند زوج مرتب از اعداد حقیقی در دستگاه زیر صدق می کند؟

$$ \begin{cases}y^2+x=yx^2 \\ x^2+y=xy^2 \end{cases}$$

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط AmirHosein

چرا از قیافهٔ پرسش ترسیده‌اید؟ هیچ نکته‌ای که بگوئیم پرسش خاصی است دیده نمی‌شود. تنها موردی که می‌توان فهمید این است که پرسش را به امان خدا رها کرده‌اید.

برابری یکم را در $y$ و برابری دوم را در $x$ ضرب کنید. بالأخره باید به یک شکلی از شر برخی عبارات دستگاه بتوانید خلاص شوید تا آن را حل کنید، سریع‌ترین ایده این است که سمت راست دو برابری را یکسان کنیم. پس از ضرب‌های گفته شده سمت راست هر دو برابری یکسان می‌شود پس سمت‌های چپ‌شان را برابر هم می‌گذاریم. از شانس خوبمان $xy$ هم در هر دو تکراری است و خط زده می‌شود پس داریم $x^3=y^3$ اما این هم‌ارز است با اینکه $x=y$ (توجه کنید که توان فرد است و تنها ریشه‌های حقیقی مد نظر است و دو ریشهٔ مختلط دیگر مد نظر نخواهند بود پس یک به یکی داریم و راحت $x=y$ برداشته می‌شود). اکنون این یافته را در یکی از دو برابریِ دستگاه به دلخواه قرار دهید. در هر کدام که قرار دهید بر حسب $x$ یا $y$، به برابری زیر می‌رسید: $$x^2+x=x^3\Longrightarrow x(x^2-x-1)=0\Longrightarrow x=0,\dfrac{1\pm\sqrt{5}}{2}$$ پس سه پاسخ داریم که درازای و پهنایشان (طول و عرضشان) برابر هم و یکی از سه عدد یافت‌شدهٔ بالا می‌باشند.

با توجه به اینکه اخیرا هزینه های نگهداری سایت افزایش چشمگیر چند برابری داشته، محفل ریاضی نیازمند حمایت مالی شما است.

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

ابزارها:

سرگرمی: سودوکو جدید

رسم نمودار: Geogebra جدید

...