به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+1 امتیاز
200 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط
ویرایش شده توسط

اگر $ f:\mathbb R \rightarrow \mathbb R$ پیوسته و کراندار باشد . ثابت کنید $ \parallel f \parallel _{ \infty } = \parallel f \parallel $

که در آن $ \|f\|=\sup\{|f(x)|:x\in\mathbb R\} $ و $ \| f \| _{ \infty } =\inf \big\{ \alpha : | f | \leq \alpha(a.e) \big\} $

دارای دیدگاه توسط
+1
در قسمت عنوان و دیدگاه اگر فرمول ریاضی مینویسید باید فقط از دو علامت دلار استفاده کنید و دیگه <math> رو بردارید.
دارای دیدگاه توسط
+1
منظورتونو از هر کدوم از نرم ها بنویسید لطفا.
$||.||_\infty$همون essential sup. هست؟ و منظورتون از $||f||=\sup\{|f(x)|:x\in \mathbb R\}$?
دارای دیدگاه توسط
ویرایش شده توسط
+1
می دانیم منظور از $\|f\|=\sup\{|f(x)|:x\in\mathbb R\} $و
$  \| f \| _{ \infty } =\inf \big\{ \alpha : | f |  \leq  \alpha(a.e) \big\}   $

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط

از آنجا که $ |f(x)|\leq \|f\| $ به ازای هر $x\in\mathbb R $ لذا واضح است که $\|f\|_\infty\leq \|f\| $

حال باید نشان دهیم $\|f\|\leq \|f\|_\infty $ :

به برهان خلف فرض کنیم $ \|f\|_\infty < \|f\|$ در اینصورت یک عدد حقیقی $$\|f\|_\infty < a< \|f\| \tag{1}\label{1}$$ وجود دارد. اما بنابر تعریف $ \sup $ نقطه ی $ x_0\in\mathbb R $ وجود دارد که $a< f(x_0)< \|f\| $ حال اگر تعریف پیوستگی برای نقطه ی $ x_0 $ و $ \epsilon=f(x_0)-a> 0 $ بنویسیم در اینصورت $ \delta>0 $ هست که برای $ |x-x_0|< \delta$ داریم: $|f(x)-f(x_0)|< \epsilon $ یعنی در این فاصله $\delta $ همسایگی که اندازه اش مثبت است داریم $ f(x)>a $ که این هم ایجاب می کند $ \|f\|_\infty\geq a $ که با $ \eqref{1} $ در تناقض است.

دارای دیدگاه توسط
ویرایش شده توسط
+1
لطف میکنید جمله
"یعنی در این فاصله $\delta$همسایگی که اندازه اش مثبت است داریم$ f(x)>a$ که این هم ایجاب می کند $\|f\|_\infty\geq a$  "

را بیشتر توضیح دهید. تشکر
دارای دیدگاه توسط
+1
از امکان تایپ ریاضی اینجا استفاده کنید قشنگتره.
خوب جمله اول که واضحه. در اون همسایگی $|x-x_0|< \delta$ داریم $|f(x)-f(x_0)|< \epsilon=f(x_0)-a$ و لذا از خاصیت قدرمطلق داریم
$-\epsilon=a-f(x_0)< f(x)-f(x_0)< \epsilon$ از نامساوی سمت چپ نتیجه میشه روی اون دلتا همسایگی $f(x)> a$ .  حالا از تعریف نرم $\|f\|_\infty$ چون  $ f $ روی یک مجموعه با اندازه مثبت( همون دلتاهمسایگی) بزرگتر از  $ a $  هست پس باید $\|f\|_\infty\geq a$. (اگه  $ \|f\|_\infty< a $ به تناقض می رسیم)
دارای دیدگاه توسط
+1
در واقع چون برای هر x داریم f(x)>0 پس باید نرم f در بینهایت هم بزرگتر از صفر باشد.
درسته؟
ببخشید برای تایپ فرمولها در دیدگاه فرمول نویس مشاهده نمیشود. باید عضو بشم؟
دارای دیدگاه توسط
ویرایش شده توسط
+1
در قسمت دیدگاه باید فرمول رو بین دو تا دلار بذارید و بنویسید. میتونید در قسمت سوال یا جواب بنویسید بعد اینجا کپی کنید.
اونی هم که نوشتید نمیدونم چه ارتباطی با موضوع بحث ما داشت؟ نرم همیشه بزرگتر از صفر هست که.
من گفتم چون روی یک مجموعه با اندازه ی مثبت داریم $f(x)\geq a$ بنابراین $\|f\|_\infty\geq a$ .
دلیل این هم به تعریف $\|f\|_\infty$ برمیگرده که به صورت $\|f\|_\infty=\inf\{M: |f(x)|\leq M\ a.e.\}$ هست. اگر قرار باشه $\|f\|_\infty< a$ باشد آنگاه چون $|f|\leq \|f\|_\infty$ تقریبا همه جا با اینکه $|f|\geq  a$ روی دلتا همسایگی که اندازه اش مثبت است در تناقض می شود.
دارای دیدگاه توسط
+1
بسیار ممنون. توضیحات کامل بود متوجه شدم تشکر از زحماتتون
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
حمایت مالی
...