به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+1 امتیاز
215 بازدید
در دانشگاه توسط janmohammadiali
ویرایش شده توسط fardina

اگر $ f:\mathbb R \rightarrow \mathbb R$ پیوسته و کراندار باشد . ثابت کنید $ \parallel f \parallel _{ \infty } = \parallel f \parallel $

که در آن $ \|f\|=\sup\{|f(x)|:x\in\mathbb R\} $ و $ \| f \| _{ \infty } =\inf \big\{ \alpha : | f | \leq \alpha(a.e) \big\} $

توسط admin
+1
در قسمت عنوان و دیدگاه اگر فرمول ریاضی مینویسید باید فقط از دو علامت دلار استفاده کنید و دیگه <math> رو بردارید.
توسط fardina
+1
منظورتونو از هر کدوم از نرم ها بنویسید لطفا.
$||.||_\infty$همون essential sup. هست؟ و منظورتون از $||f||=\sup\{|f(x)|:x\in \mathbb R\}$?
توسط janmohammadiali
ویرایش شده توسط fardina
+1
می دانیم منظور از $\|f\|=\sup\{|f(x)|:x\in\mathbb R\} $و
$  \| f \| _{ \infty } =\inf \big\{ \alpha : | f |  \leq  \alpha(a.e) \big\}   $

1 پاسخ

+2 امتیاز
توسط fardina

از آنجا که $ |f(x)|\leq \|f\| $ به ازای هر $x\in\mathbb R $ لذا واضح است که $\|f\|_\infty\leq \|f\| $

حال باید نشان دهیم $\|f\|\leq \|f\|_\infty $ :

به برهان خلف فرض کنیم $ \|f\|_\infty < \|f\|$ در اینصورت یک عدد حقیقی $$\|f\|_\infty < a< \|f\| \tag{1}\label{1}$$ وجود دارد. اما بنابر تعریف $ \sup $ نقطه ی $ x_0\in\mathbb R $ وجود دارد که $a< f(x_0)< \|f\| $ حال اگر تعریف پیوستگی برای نقطه ی $ x_0 $ و $ \epsilon=f(x_0)-a> 0 $ بنویسیم در اینصورت $ \delta>0 $ هست که برای $ |x-x_0|< \delta$ داریم: $|f(x)-f(x_0)|< \epsilon $ یعنی در این فاصله $\delta $ همسایگی که اندازه اش مثبت است داریم $ f(x)>a $ که این هم ایجاب می کند $ \|f\|_\infty\geq a $ که با $ \eqref{1} $ در تناقض است.

توسط
ویرایش شده توسط fardina
+1
لطف میکنید جمله
"یعنی در این فاصله $\delta$همسایگی که اندازه اش مثبت است داریم$ f(x)>a$ که این هم ایجاب می کند $\|f\|_\infty\geq a$  "

را بیشتر توضیح دهید. تشکر
توسط fardina
+1
از امکان تایپ ریاضی اینجا استفاده کنید قشنگتره.
خوب جمله اول که واضحه. در اون همسایگی $|x-x_0|< \delta$ داریم $|f(x)-f(x_0)|< \epsilon=f(x_0)-a$ و لذا از خاصیت قدرمطلق داریم
$-\epsilon=a-f(x_0)< f(x)-f(x_0)< \epsilon$ از نامساوی سمت چپ نتیجه میشه روی اون دلتا همسایگی $f(x)> a$ .  حالا از تعریف نرم $\|f\|_\infty$ چون  $ f $ روی یک مجموعه با اندازه مثبت( همون دلتاهمسایگی) بزرگتر از  $ a $  هست پس باید $\|f\|_\infty\geq a$. (اگه  $ \|f\|_\infty< a $ به تناقض می رسیم)
توسط
+1
در واقع چون برای هر x داریم f(x)>0 پس باید نرم f در بینهایت هم بزرگتر از صفر باشد.
درسته؟
ببخشید برای تایپ فرمولها در دیدگاه فرمول نویس مشاهده نمیشود. باید عضو بشم؟
توسط fardina
ویرایش شده توسط erfanm
+1
در قسمت دیدگاه باید فرمول رو بین دو تا دلار بذارید و بنویسید. میتونید در قسمت سوال یا جواب بنویسید بعد اینجا کپی کنید.
اونی هم که نوشتید نمیدونم چه ارتباطی با موضوع بحث ما داشت؟ نرم همیشه بزرگتر از صفر هست که.
من گفتم چون روی یک مجموعه با اندازه ی مثبت داریم $f(x)\geq a$ بنابراین $\|f\|_\infty\geq a$ .
دلیل این هم به تعریف $\|f\|_\infty$ برمیگرده که به صورت $\|f\|_\infty=\inf\{M: |f(x)|\leq M\ a.e.\}$ هست. اگر قرار باشه $\|f\|_\infty< a$ باشد آنگاه چون $|f|\leq \|f\|_\infty$ تقریبا همه جا با اینکه $|f|\geq  a$ روی دلتا همسایگی که اندازه اش مثبت است در تناقض می شود.
توسط behruz
+1
بسیار ممنون. توضیحات کامل بود متوجه شدم تشکر از زحماتتون

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...