به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
0 امتیاز
108 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط ntrnt.wb
ویرایش شده توسط fardina

فرض کنید $$ g(x) =\begin{cases}3x & x < \frac{1}{2} \\3-3x& x \geq\frac{1}{2}\end{cases} $$

نشان دهید مجموعه$ A =\{x \in [0, 1] : g^{n} (x) \in [0 ,1], n \in \mathbb N\} $ مجموعه ی یک سوم میانی کانتور (Cantor middle third) می باشد

مرجع: First course in discrete dynamical system by Richard Holmgren
دارای دیدگاه توسط AmirHosein
+1
مرجع «سیستم دینامیکی»؟ واقعا؟ یک خط بالای مرجع زمانی که پرسش را ارسال می‌کردید خواندید؟ در قسمت مرجع نام کتاب یا مقاله‌ای که در آن به این پرسش برخورد کرده‌اید را می‌آورند به همراه نام نویسنده و احیانا اشاره به شمارهٔ تمرین یا قضیه و غیره. مبحث مربوطه را در بخش برچسب قرار می‌دهند. بعلاوه عنوان را می‌توانستید ترجمه کنید و به فارسی قرار دهید.

1 پاسخ

+1 امتیاز
پاسخ داده شده توسط Maisam.Hedyehloo
ویرایش شده توسط Maisam.Hedyehloo

سلام دوست عزیز, بصورت مستقیم سعی می کنیم. کانتور بودن (حدف نیمه میانی) را در مجموعه $A$ مشاهده کنیم.

اگر شما به مجموعه $A$ نگاه کنید میتوانیم بنویسیم

$$A=\cap_{n\ge 1}g^{-n}[0,1] = g^{-1}[0,1] \cap \cap_{n\ge 2}g^{-n}[0,1] $$ حال طبق ضابطه تابع به $g^{-1}[0,1]$ نگاه می کنیم که برابر است با $[\frac{2}{3},1]\cup[0,\frac{1}{3}]$

پس در گام نخست مرحله اول کانتور ظاهر شد و بهمین طریق $g^{-2}[0,1]$ را حساب می کنیم. که بسادگی می بینیم. $g^{-2}[0,1] = [\frac{0}{9},\frac{1}{9}] \cup [\frac{2}{9},\frac{3}{9}] \cup [\frac{6}{9},\frac{7}{9}] \cup [\frac{8}{9},\frac{9}{9}] $ و بطور مشابه فوق مرحله دوم کانتور نیز ظاهر میشود حل میشودبا استفاده از استقرا اثبات را تکمیل میکنیم.

یک روش دیگری هم هست که مشابه اثبات کانتور بودن مجموع پایای تابع لاجستیک که همسانریختی بین فضای سیمبلیک ${0,1}^{\mathbb N}$ و $A$ برقرار میکند و از انجایی که مجموع ${0,1}^{\mathbb N}$ کانتور مفروض هست بنابرین $A$ نیز کانتور میباشد.

با توجه به اینکه اخیرا هزینه های نگهداری سایت افزایش چشمگیر چند برابری داشته، محفل ریاضی نیازمند حمایت مالی شما است.

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

ابزارها:

سرگرمی: سودوکو جدید

رسم نمودار: Geogebra جدید

...