به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
0 امتیاز
96 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط
ویرایش شده توسط

فرض کنید$ \|.\| $ یک نرم ماتریسی القایی(طبیعی) باشد. منظور از $\rho(a)$ شعاع طیفی ماتریس $A$ می باشد. ثابت کنید $$\lim_{n\to \infty}\|A^n\|^{\frac 1n}=\rho(A)$$

مرجع: جبرخطی عددی ویلیام فورد
دارای دیدگاه توسط
+1
تلاشی برای حل مساله کردین؟
بهتر بود سوال رو در خود سایت تایپ میکردید. چه نیازی به عکس بود. عنوان نامناسب نوشتید. عنوان باید همان خلاصه سوال باشد نه این چیزی که نوشتید.
دارای دیدگاه توسط
–1
@adminسلام ببخشید میشه این سوال رو به دوستان بگید من فردا پایان نامه دارم مشکلم راه حل این سوال اصلا نمیتونم پیداش کنم
دارای دیدگاه توسط
@mohsenmoradi @علیرضا شما دو شناسهٔ کاربری دارید؟ تایپ کردن متن پرسش‌تان در بدترین حالت چند دقیقه بیشتر طول نمی‌کشد.

1 پاسخ

+3 امتیاز
پاسخ داده شده توسط
انتخاب شده توسط
 
بهترین پاسخ

اول از همه می دانیم

قضیه

$$A \in C^{n \times n}, \lim_{k \rightarrow \infty } A^{k}=0 \Longleftrightarrow \rho (A)< 1 $$

نکته بعدی اینه که

$$ A \in C^{n \times n}, \rho (A) \leq \mid \mid A \mid \mid $$

همچنین بدیهیه که

$$ \rho (A)^{k}= \rho ( A^{k} ) \leq \mid \mid A^{k} \mid \mid $$

حالا با توجه به اینا داریم

$$ \rho (A) \leq \mid \mid A^{k} \mid \mid ^{ \frac{1}{k} } $$

حالا طبق تعریف شعاع طیفی بدیهیه که برای هر $ \epsilon >0$ داریم $ \rho ( \frac{A}{ \rho (A)+ \epsilon } ) < 1$ پس بنا به قضیه ای که یادآوری کردیم داریم

$$ \lim_{k \rightarrow \infty } ( \frac{A}{ \rho (A)+ \epsilon } )^{k}=0 \Rightarrow \lim_{k \rightarrow \infty } \frac{ \mid \mid A^{k} \mid \mid}{ (\rho (A)+ \epsilon)^{k} }=0 $$

پس بنا به تعریف حد وجود دارد $M \in N $ به طوریکه برای همه ی $k \geq M$ داریم $\frac{ \mid \mid A^{k} \mid \mid}{ (\rho (A)+ \epsilon)^{k} } < 1$

یعنی برای $k \geq M$ داریم $ \mid \mid A^{k} \mid \mid ^{ \frac{1}{k} } < \rho (A)+ \epsilon $ پس برای $k \geq M$ داریم

$$ \rho (A) \leq \mid \mid A^{k} \mid \mid ^{ \frac{1}{k} } \leq \rho (A)+ \epsilon $$

چون این رابطه برای هر $ \epsilon >0$ برقراره پس

$$ \lim_{k \rightarrow \infty } \mid \mid A^{k} \mid \mid ^{ \frac{1}{k} }=\rho (A) $$
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
حمایت مالی
...