به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+3 امتیاز
148 بازدید
سوال شده در دبیرستان توسط
ویرایش شده توسط

در مثلث $ ABC$ داریم $ \hat{BAC}=40 $ و $ AB=10, AC=6 $ . نقاط
$E,D$ به ترتیب روی $ AB $ و $ AC $ قرار دارند. کمترین مقدار $ BE+DE+CD $ برابر است با

  1. $ 6 \sqrt{3} +3$
  2. $ \frac{27}{2} $
  3. $ 8 \sqrt{3} $
  4. $ 14 $

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط
ویرایش شده توسط

enter image description here

برای حل سوال از $ B $ بر $ AC $ عمودی رسم کرده به اندازه ی خودش امتداد میدهیم یعنی $ BQ=QF $ با استفاده از همنهشتی به سادگی میتوان ثابت کرد که $ FE=BE$ و بطور مشابه $GD=CD $ است.

پس داریم: $ BE+ED+CD=EF+ED+DG $

enter image description here

حال اگر از $ F $ به $ D$ وصل کنیم از نامساوی مثلث خواهیم داشت:

$$ FD < FE+ED $$ حال اگر از $ F$ به $ D$ وصل کنیم طبق نامساوی مثلث برای $FDG $ خواهیم داشت: $$ FG < FD+DG $$ لذا با ترکیب این دو خواهیم داشت: $$ FG < FD+DG < FE+ED +DG =BE+ED+CD$$

$ FG$که یک مقدار ثابت است یک کران پایین برای $ BE+ED+CD $ است و اگر خطی که $ F$ را به $ G $ وصل میکند را رسم کنیم و نقاط برخورد با اضلاع را $ E $ و $ D $ بنامیم آنگاه مقدار $ BE+ED+CD $ برابر طول $ FG$ میشود. یعنی کمترین مقدار زمانی است که $ F,E,D,G $ در یک خط قرار گیرند.

حال با توجه به آنچه در اول گفته شد(شکل اول) داریم $ AC=AG=6$ و $ AF=AB+10 $ و زاویه ی $ \widehat{FAG} $ برابر $ 120$ است و با در نظر گرفتن مثلث $ AFG $ و قانون کسینوس ها داریم: $$\begin{align}FG&= \sqrt{ 10^{2} + 6^{2} -120cos(120)} \\ &= \sqrt{136+120 \times \frac{1}{2} } \\ &= \sqrt{196}\\ &=14\end{align} $$

دارای دیدگاه توسط
بخاطر شکل نادرستی که برای مثلث اولیه رسم کردم معذرت میخوام.
چون شکل اولیه ی مثلث اشتباه رسم شده نقاط بد قرار گرفته اند برای درک بهتر جواب میتونید یک شکل مناسب برای خودتون بکشید.
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
حمایت مالی
...