به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+2 امتیاز
279 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط
ویرایش شده توسط admin

فرض کنید $ f : \mathbb R \longrightarrow \mathbb R$ یک تابع کراندار با نمودار بسته باشد. ثابت کنید $ f $ پیوسته است.

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط fardina
ویرایش شده توسط erfanm

چون $f $ کراندار است لذا عدد حقیقی $ M $ وجود دارد به طوریکه $f(x)\leq M $ . برای پیوستگی کافی است ثابت کنیم به ازای هر دنباله $ x_n\to x $ داریم : $f(x_n)\to f(x) $ .

دنباله ی $ (x_n, f(x_n)) $ در $\mathbb R^2 $در مجموعه ی $ (\{x_n\}\cup\{x\})\times [-M,M] $ قرار میگیرد. ولی از آنالیز ریاضی 1 دوره کارشناسی به یاد داریم که اگر $ x_n\to x $ آنگاه $ \{x_n\}\cup\{x\}$ فشرده است. و چون $[-M,M] $ هم فشرده است لذا $ (\{x_n\}\cup\{x\})\times [-M,M] $ نیز فشرده است. اما هر دنباله در یک مجموعه فشرده دارای زیر دنباله ی همگراست پس دنباله ی $ \{(x_n,f(x_n))\} $ در $ (\{x_n\}\cup\{x\})\times [-M,M] $دارای زیر دنباله ای همگرا مثل $ \{(x_{n_k},f(x_{n_k}))\} $ دارد. توجه داریم که چون $ \Gamma_f $بسته است نقطه همگرایی دنباله در آن می افتد یعنی نقطه همگرایی دنباله $(x_{n_k}, f(x_{n_k})) $ باید به صورت $ (x', f(x'))$ باشد . ولی چون $ x_n\to x $ پس هر زیردنباله آن هم به $x $همگراست یعنی $ x=x' $ و $f(x_{n_k})\to f(x) $ . بنابراین $f$ پیوسته است.

در واقع اگر زیر دنباله ی دیگری از $ \{(x_n,f(x_n))\} $ همگرا باشد مثلا $ \{(x_{n_t},f(x_{n_t}))\} $ و به $ ( x_{1} , f(x_{1}))$ همگرا باشد یعنی $\{(x_{n_t} \}$ به $ x_{1} $ همگراست اما از آنجایی که $ x_n\to x $ داریم که $ x_{1}=x$ یعنی هر زیر دنباله ی $ \{(x_n,f(x_n))\} $ به $ ( x , f(x))$ همگراست لذا داریم : $f(x_n)\to f(x) $ .

سوال شده آذر ۲۸, ۱۳۹۳ در دانشگاه توسط بی نام
+1 امتیاز
همگرایی مقدار دنباله و مقدار زیر دنباله؟

با توجه به اینکه اخیرا هزینه های نگهداری سایت افزایش چشمگیر چند برابری داشته، محفل ریاضی نیازمند حمایت مالی شما است.

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

ابزارها:

سرگرمی: سودوکو جدید

رسم نمودار: Geogebra جدید

...