به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+2 امتیاز
218 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط
ویرایش شده توسط fardina

گیریم $X $ یک فضای باناخ نامتناهی- بعد و $ \phi: X \longrightarrow X $ یک عملگر خطی فشرده باشد. نشان دهید که اگر $ \phi $ یک به یک باشد، آنگاه برد (حوزه مقادیر) $ \phi $ نمیتواند بسته باشد.

1 پاسخ

+1 امتیاز
پاسخ داده شده توسط erfanm

در واقع اگر $ Im( \phi ) $ بسته باشد لذا فشرده است و$ \varphi : X \longrightarrow Im( \phi ) $ عملگری فشرده و دوسویی خواهد بود لذا گوی یکه $ B_{X} $ فشرده خواهد بود.(چون داریم $B_{X}= \varphi^{-1} \varphi B_{X} $ ) یعنی هر دنباله از اعضای آن، دارای یک زیر دنباله ی همگرا خواهد بود.

از آنجایی که $ X $ فضایی با بعد نامتناهی است لذا بنابر لم ریس($ Riesz's \ lemma$ ) دنباله ای از بردارهای یکه مانند $ \{x_{n} \} $ موجود است که هیچ زیر دنباله ای از آن همگرا نیست.ولی این با اینکه گوی یکه $ B_{X} $ فشرده است در تناقض است لذا فرض خلف باطل و حکم ثابت شد.

با توجه به اینکه اخیرا هزینه های نگهداری سایت افزایش چشمگیر چند برابری داشته، محفل ریاضی نیازمند حمایت مالی شما است.

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

ابزارها:

سرگرمی: سودوکو جدید

رسم نمودار: Geogebra جدید

...