به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+2 امتیاز
225 بازدید
در دانشگاه توسط
ویرایش شده توسط fardina

گیریم $X $ یک فضای باناخ نامتناهی- بعد و $ \phi: X \longrightarrow X $ یک عملگر خطی فشرده باشد. نشان دهید که اگر $ \phi $ یک به یک باشد، آنگاه برد (حوزه مقادیر) $ \phi $ نمیتواند بسته باشد.

1 پاسخ

می توانید به پاسخ(ها) امتیاز دهید یا آن را انتخاب کنید.

+1 امتیاز
توسط erfanm

در واقع اگر $ Im( \phi ) $ بسته باشد لذا فشرده است و$ \varphi : X \longrightarrow Im( \phi ) $ عملگری فشرده و دوسویی خواهد بود لذا گوی یکه $ B_{X} $ فشرده خواهد بود.(چون داریم $B_{X}= \varphi^{-1} \varphi B_{X} $ ) یعنی هر دنباله از اعضای آن، دارای یک زیر دنباله ی همگرا خواهد بود.

از آنجایی که $ X $ فضایی با بعد نامتناهی است لذا بنابر لم ریس($ Riesz's \ lemma$ ) دنباله ای از بردارهای یکه مانند $ \{x_{n} \} $ موجود است که هیچ زیر دنباله ای از آن همگرا نیست.ولی این با اینکه گوی یکه $ B_{X} $ فشرده است در تناقض است لذا فرض خلف باطل و حکم ثابت شد.

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...