خصوصیت مد نظر شما یعنی: $f(-x)=-f(x)$ فقط در توابعی دیده می شود که نسبت به مبدا مختصات متقارن هستند. یا به اصطلاح فرد هستند.
تابعی که شما عنوان کرده اید به ضابطه $log(5-2x)$ یک تابع فرد نیست. لذا این خصوصیت وجود ندارد که بتوان اثبات هم کرد.
بنابراین بنده با مثال نقض ثابت می کنم که این خصوصیت در تابع قید شده وجود ندارد:
مثال نقض: تابع مد نظر به ازای x=1 فاقد خصوصیت فرد بودن است.
$f(-1) = log(5-2(-1)) = log(5+2)=log(7)$
$-f(1) = -log(5-2(1))=-log(3
)=log( 3^{-1} )=log( \frac{1}{3} )$
همانطور که ملاحظه می کنید مقادیر دو سطر با هم متفاوت است.
نمودار مورد نظر نیز در تصویر زیر مشاهده می شود. همانطور که دیده می شود این نمودار نسبت به مبدا مختصات متقارن نیست.
