به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+1 امتیاز
152 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط
ویرایش شده توسط

اگر $ (X,\mathcal M,\mu) $ یک فضای اندازه و $ f:X\to\mathbb R $ یک تابع اندازه پذیر باشد در مورد حد $ \lim( \int | f | ^p) ^ \frac{1}{p} $ چه می توان گفت؟

دارای دیدگاه توسط
میشه بگیم این همون نرم بی نهایت میشه؟؟؟
دارای دیدگاه توسط
شرط متنهای بودن $\mu(X)< \infty$ ضروری است.
جواب رو ببینید.

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط
ویرایش شده توسط

نشان می دهیم که : $ \lim_{p\to\infty}\|f\|_p=\|f\|_\infty $ :

یک طرف واضح است زیرا بنابرتعریف نرم $ \|f\|_\infty $ تقریبا همه جا داریم $ |f(x)|\leq \|f\|_\infty$ لذا

$$\|f\|_p=\big(\int|f|^pd\mu\big)^{1/p}\leq \big(\int\|f\|_\infty^p d\mu\big)^{1/p} =\|f\|_\infty(\mu(X))^{1/p} $$ با حد گرفتن از طرفین داریم:

$$\lim_{p\to\infty}\|f\|_p\leq \lim_{p\to\infty}\|f\|_\infty\big(\mu(X)\big)^{1/p}=\|f\|_\infty $$

توجه کنید که شرط متناهی بودن اندازه در اینجا ضروری است.

برای اثبات عکس نشان می دهیم به ازای هر $ \epsilon>0$ داریم $\lim_{p\to\infty}\|f\|_p\geq \|f\|_\infty-\epsilon $

فرض کنید $ \epsilon>0 $ دلخواه باشد بنابر تعریف $$ \|f\|_\infty=\inf\{M: |f(x)|\leq M\ \mu-a.e.\}=\inf\{M: \mu(\{x:|f(x)|> M\}=0\}$$ اگر مجموعه $A=\{x:|f(x)|>\|f\|_\infty-\epsilon\} $ را در نظر بگیرید آنگاه $ \mu(A)> 0$ .

در اینصورت داریم: $$\begin{align}\big(\int|f|^pd\mu\big)^{1/p}&\geq \big(\int_A|f|^pd\mu\big)^{1/p}\\ &\geq \big(\int_A(\|f\|_\infty-\epsilon)^p\big)^{1/p}\\ &=(||f||_\infty-\epsilon)(\mu(A))^{1/p} \end{align}$$ و حال اگر $ p\to\infty $ داریم: $ \lim_{p\to\infty}\|f\|_p\geq \|f\|_\infty-\epsilon $ و چون اپسیلون دلخواه بود لذا $\lim_{p\to\infty}\|f\|_p\geq \|f\|_\infty $ .

به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
حمایت مالی
...