به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+2 امتیاز
302 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط behrooz.f
ویرایش شده توسط fardina

فرض کنید $X$ و $Y$ فشرده و $ \tau :Y \rightarrow X$ پیوسته باشد. $A:C(X) \rightarrow C(Y)$ با ضابطه $(Af)y=f( \tau (y))$ عملگری خطی و پیوسته است، در اینصورت نشان دهید که عملگر الحاقی $A^*:M(Y) \rightarrow M(X)$ به ازای هر زیر مجموعه بورل $ U$ از $X $ و هر $ \mu \in M(Y)$ به صورت زیر داده می‌شود: $$(A ^ * μ)(U)=μ(τ ^ {-1}(U))$$

دارای دیدگاه توسط dr
ویرایش شده توسط fardina
+2
فک کنم جهت نگاشت $\tau$ رو اشتبا نوشتید، از $Y$ به $X$ درسته
دارای دیدگاه توسط fardina
+1
درسته من ویرایشش کردم.

1 پاسخ

+3 امتیاز
پاسخ داده شده توسط dr
انتخاب شده توسط behrooz.f
 
بهترین پاسخ

کافیست حکم داده شده را برای مجموعه ی باز دلخواه $U$ از $X$ ثابت کنیم . می دانیم چون $X$ فشرده است بنابراین $C(X)$ تحت نرم یک یعنی $ \parallel ~~ \parallel_{1} $در $ L^{1} $چگال است. و چون $U$ باز در نتیجه اندازه پذیر است بنابراین $ \chi _{U} \in L^{1} $ و از این رو دنباله ای چون $ \big\{ f_{n} \big\} $ در$C(X)$ وجود دارد چنانکه $$ \int \chi _{U} d \mu = \lim_{n} \int \mid f_{n} \mid d \mu \tag{1} $$ حال چون $ A^{*} \mu \in M(X)$ و طبق تعریف برای عضو دلخواهی چون $f$ در $C(X)$ داریم $$ \int fd A^{*} \mu = < f , A^{*} \mu > = < Af , \mu > = \int Af d \mu \tag{2}$$ بنابراین از روابط (1) و(2) داریم $$ \begin{align} A^{*} \mu \big(U\big) &= \int_U d \big(A^{*} \mu \big) \\ & = \int \chi _{u} d \big( A^{*} \mu \big) \\ &= \lim_{n} \int \mid f_{n} \mid d \big( A^{*} \mu \big) \\ & = \lim_{n} \int A \big( \mid f_{n} \mid \big) d \mu \\ & = \lim_{n} \int \mid f_{n} \mid \circ \tau d \mu \\ & = \int \chi _{ U} \circ \tau d \mu\\ & = \int \chi _{ \tau ^{-1} U} d \mu \\ &= \mu \big( \tau ^{-1} U\big) \end{align} $$ و حکم تمام است.

دارای دیدگاه توسط behrooz.f
+1
ممنون بخاطر جواب.
در همین رابطه آیا می توان گفت چون هر مجموعه باز را می توان به صورت اجتماع نامتناهی از مجموعه های بسته تودرتو نوشت(فضاهای متریک پذیر) و با استفاده از لم اورسون دنباله ای  از توابع را همگرا به تابع خی همان مجموعه باز، یافت. و ادامه برهان فوق را پی گیری نمود؟

با توجه به اینکه اخیرا هزینه های نگهداری سایت افزایش چشمگیر چند برابری داشته، محفل ریاضی نیازمند حمایت مالی شما است.

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

ابزارها:

سرگرمی: سودوکو جدید

رسم نمودار: Geogebra جدید

...