ثابت می کنیم $\lim_{t\to 2}\frac 4t=\frac 42=2$.
فرض کنید $\epsilon>0$ دلخواه داده شده باشد در اینصورت باید $\delta>0$ مناسبی بیابیم که برای $t$ هایی که در همسایگی محذوف حول نقطه $2$ هستند یعنی $0< |t-2|< \delta$ نامساوی
$$|\frac 4t-2|< \epsilon$$
برقرار باشد. اما این نامساوی برقرار است اگر و تنها اگر $\frac{|4-2t|}{|t|}< \epsilon$
در این نامساوی چنانکه می بینید در مخرج عبارت $|t|$ داریم و لذا اگر ما $\delta$ ی که دنبال آن می گردیم آنقدر بزرگ اختیار کنیم که $0< |t-2|< \delta$ برای $t=0$ برقرار باشد آنگاه عبارت $ \frac{|4-2t|}{|t|} $ تعریف نشده می شود( مثلا اگر $\delta=3$ انتخاب شود آنگاه همسایگی ما به صورت $0< |t-2|< 3$ یعنی مجموعه $(-1,2)\cup (2,5)$ می شود و در این بازه صفر را داریم که اگر $t=0$ اختیار کنیم آنگاه عبارتی که گفتیم غیر قابل تعریف می شود)
به همین منظور ما فورا در میابیم که حق نداریم $\delta$ را بزرگتر از $2$ در نظر بگیریم چون در غیر اینصورت $0< |t-2|< \delta$ شامل صفر می شود.
از طرفی چون در عبارت $\frac{|4-2t|}{|t|}$ در مخرج $|t|$ داریم که باید به نحوی از شر آن خلاص شویم. (چون اگر فقط $|4-2t|< \epsilon$ می بود واضح بود که از تقسیم طرفین بر $2$ داشتیم $|t-2|< \frac \epsilon 2$ و لذا کافی بود $\delta$ را عددی مثبت در نظر می گرفتیم که از $2$ و $\frac\epsilon 2$ کوچکتر باشد.)
برای اینکه از شر $|t|$ خلاص شویم می توان به این فکر کرد که اگر $\delta$ را به نحوی مناسب انتخاب کنیم آنگاه $\frac 1{|t|}$ دارای کران بالایی می شود. به طور دقیقتر مثلا اگر $\delta< 1$ انتخاب کنیم آنگاه از $|t-2|< \delta< 1$ و نامساوی مثلثی $||t|-|2||\leq |t-2|$ خواهیم داشت $|t|> 1$ و لذا $\frac 1{|t|}< 1$
پس با فرض $\delta< 1$ داریم:
$$\frac{|4-2t|}{|t|}< |4-2t|$$
که این هم همانطور که قبلا توضیح دادیم از $|4-2t|< \epsilon$ خواهیم داشت $|t-2|< \frac\epsilon 2$ و لذا کافی است $0< \delta< \min\{1, \frac \epsilon 2\}$ انتخاب شود.
