به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+2 امتیاز
117 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط
ویرایش شده توسط

چگونه میتوان نشان داد که $ \| . \| _{ \infty } $ یک نرم روی $ L_{ \infty } $ است ؟

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط

$ ||.||_\infty $ یک نرم روی $L_\infty $ نیست زیرا از $||f||_\infty=0 $ نمی توان نتیجه گرفت $ f=0$ . اما $||.||_\infty $ یک نیم نرم است یعنی:

  1. $ ||f||_\infty\geq 0 $ واضح است.
  2. $ f=0$ آنگاه $ ||f||_\infty=0 $ واضح است.

  3. $ ||cf||_\infty =|c|||f||_\infty $ واضح است.

  4. $ ||f+g||_\infty\leq ||f||_\infty+||g||_\infty$ برای اثبات این موضوع بنابر تعریف $||.||_\infty $ از $ f,g\in L^\infty $ نتیجه می شود موجموعه های $ E_1$ و $ E_2 $ وجود دارند که $ \mu(E_1)=0 $ و $\mu(E_2)=0 $ و روی $ E_1^c $ داریم $ |f(x)|\leq ||f||_\infty $ و روی $ E_2^c $ داریم $ |g(x)|\leq ||g||_\infty $ . اگر قرار دهیم
    $ E=E_1\cup E_2$ دراینصورت $ \mu(E)=0 $ و روی $E^c $ داریم $$ |f(x)+g(x)|\leq |f(x)|+|g(x)|\leq ||f||_\infty+||g||_\infty $$

لذا از تعریف نرم بی نهایت داریم: $||f+g||_\infty\leq ||f||_\infty+||g||_\infty $ .

اما همیشه می توان از یک نیم نرم یک نرم ساخت به این ترتیب که رابطه هم ارزی زیر را در نظر می گیریم: $$ f \sim g \iff f=g\quad \mu-a.e. $$

در اینصورت رابطه بالا هم ارزی است( چرا؟) و $||.|| $ یک نرم روی کلاس های هم ارزی $ \dfrac{L^\infty(\mu)}{\sim} $ است. که این کلاس های هم ارزی را هم دوباره قرار داد میبندیم که با $L^\infty(\mu) $ یا $L^\infty $ نمایش می دهیم. یعنی در $L^\infty $ توابعی که تقریبا همه جا با هم برابر هستند را مساوی در نظر میگیریم. دقیقا کاری که برای $ L^p$ ها هم انجام میدادیم.

در اینصورت رابطه 2 در بالا به صورت اگر و تنها اگر در می آید یعنی : $f=0 $ اگر و تنها اگر $ ||f||_\infty=0$ . (توجه کنید که $ f=0 $ یعنی تقریبا همه جا $ f $ برابر صفر است. و ما توابعی که تقریبا همه جا برابر بودند را مساوی در نظر گرفتیم.)

به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
حمایت مالی
...