به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+1 امتیاز
70 بازدید
سوال شده در دبیرستان و دانشگاه توسط aaa
ویرایش شده توسط good4us

نشان دهید به ازای هر $ \epsilon > 0$ مفروض یک $ \delta > 0$ وجود دارد به طوری که برای هر t

$$0 < |t-c | < \delta \Longrightarrow | f(t) -L | < \varepsilon $$

$f(t)= \frac{ \frac{1}{t} - \frac{1}{3} }{t-3} $ در $t=3$

دارای دیدگاه توسط MSS
+1
به جای t قرار بده  t+Ꜫ بعد مخرج مشترک بگیر و ساده کن. در نهایت به جای t عدد 3 قرار بده. جواب -1/9 میشود.
دارای دیدگاه توسط aaa
من گفتم اثبات کنید که دارای حد هست به روش اپثیلون دلتا
شاید منظورمو نفهمیدی
سوال رو ویرایش کردم دو باره نگاه بنداز.
بازم ممنون از راهنماییت.

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط fardina
انتخاب شده توسط aaa
 
بهترین پاسخ

اولا اگر با روش های حدگیری آشنا باشید واضح است که:

$$\require{cancel} \lim_{t\to 3}\frac{\frac 1t-\frac 13}{t-3} = \lim_{t\to 3}\frac{\cancel{3-t}}{3t\cancel{(t-3)}} = \lim_{t\to 3}\frac{-1}{3t}=\frac {-1}9$$

اما با استفاده از تعریف حد فرض کنید $\epsilon>0$ داده شده باشد در اینصورت باید دنبال $\delta>0$ ی باشیم که اگر $0< |t-3|< \delta$ آنگاه $\left |\frac{\frac 1t-\frac 13}{t-3}-(-\frac 19)\right|< \epsilon$

از نامساوی اخیر داریم $\left|\frac{3-t}{3t(t-3)}+\frac 19\right|< \epsilon$ اگر و تنها اگر $\left|\frac{t^2-6t+9}{9t(t-3)}\right|< \epsilon$ اگر و تنها اگر $$\left|\frac{(t-3)^2}{9t(t-3)}\right|=\left|\frac{t-3}{9t}\right|=\frac 19\frac1{|t|}|t-3|< \epsilon$$

همانطور که می بینید در مخرج $|t|$ داریم لذا باید دلتایی که در نظر میگیریم آنقدر بزرگ نباشد که همایگی $0< |t-3|< \delta$ شامل $t=0$ شود پس باید $\delta < 3$ انتخاب شود( می توانید $\delta< 2$ یا $\delta< 1$ یا $\delta$ کمتر از هر عددی کوچکتر از $3$ اختیار کنید این دیگه قاعده ای نداره و به دلخواه شماست. فقط شرط این است که همسایگی شامل صفر نشود) مثلا در اینجا $\delta< 2$ در نظر بگیریم در اینصورت از $||t|-3|< |t-3|< 2$ داریم $-2< |t|-3$ داریم $|t|>1$ و لذا $\frac 1{|t|}< 1$ که در اینصورت $$ \frac 19\frac1{|t|}|t-3|< \frac 19\times 1\times |t-3|< \epsilon $$ اگر و تنهااگر $|t-3|< 9\epsilon$ پس کافی است $0< \delta< \min\{2, 9\epsilon\}$ انتخاب کنیم.

دارای دیدگاه توسط aaa
ویرایش شده توسط aaa
من هم همین جواب رو به دست آوردم اما جوابی که تو کتاب اومده مینیمم 1 و 18اپسیلون است .
هرچند اون هم درسته و با تعریف حد جور در میاد.
دارای دیدگاه توسط fardina
خوب لابد $\delta< 1$ در نظر گرفته بوده به جای $2$.
اگر جواب رو داشتید باید جواب رو می نوشتید و میگفتید در کجا به مشکل برخوردید و توضیح‌ می خواستید!
پس از این به یعد لطفا کامل توضیح بدید و تلاشتون برای مساله رو بنویسید.

با توجه به اینکه اخیرا هزینه های نگهداری سایت افزایش چشمگیر چند برابری داشته، محفل ریاضی نیازمند حمایت مالی شما است.

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

ابزارها:

سرگرمی: سودوکو جدید

رسم نمودار: Geogebra جدید

...