به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+1 امتیاز
78 بازدید
در دبیرستان و دانشگاه توسط aaa
ویرایش شده توسط good4us

نشان دهید به ازای هر $ \epsilon > 0$ مفروض یک $ \delta > 0$ وجود دارد به طوری که برای هر t

$$0 < |t-c | < \delta \Longrightarrow | f(t) -L | < \varepsilon $$

$f(t)= \frac{ \frac{1}{t} - \frac{1}{3} }{t-3} $ در $t=3$

توسط MSS
+1
به جای t قرار بده  t+Ꜫ بعد مخرج مشترک بگیر و ساده کن. در نهایت به جای t عدد 3 قرار بده. جواب -1/9 میشود.
توسط aaa
من گفتم اثبات کنید که دارای حد هست به روش اپثیلون دلتا
شاید منظورمو نفهمیدی
سوال رو ویرایش کردم دو باره نگاه بنداز.
بازم ممنون از راهنماییت.

1 پاسخ

+2 امتیاز
توسط fardina
انتخاب شده توسط aaa
 
بهترین پاسخ

اولا اگر با روش های حدگیری آشنا باشید واضح است که:

$$\require{cancel} \lim_{t\to 3}\frac{\frac 1t-\frac 13}{t-3} = \lim_{t\to 3}\frac{\cancel{3-t}}{3t\cancel{(t-3)}} = \lim_{t\to 3}\frac{-1}{3t}=\frac {-1}9$$

اما با استفاده از تعریف حد فرض کنید $\epsilon>0$ داده شده باشد در اینصورت باید دنبال $\delta>0$ ی باشیم که اگر $0< |t-3|< \delta$ آنگاه $\left |\frac{\frac 1t-\frac 13}{t-3}-(-\frac 19)\right|< \epsilon$

از نامساوی اخیر داریم $\left|\frac{3-t}{3t(t-3)}+\frac 19\right|< \epsilon$ اگر و تنها اگر $\left|\frac{t^2-6t+9}{9t(t-3)}\right|< \epsilon$ اگر و تنها اگر $$\left|\frac{(t-3)^2}{9t(t-3)}\right|=\left|\frac{t-3}{9t}\right|=\frac 19\frac1{|t|}|t-3|< \epsilon$$

همانطور که می بینید در مخرج $|t|$ داریم لذا باید دلتایی که در نظر میگیریم آنقدر بزرگ نباشد که همایگی $0< |t-3|< \delta$ شامل $t=0$ شود پس باید $\delta < 3$ انتخاب شود( می توانید $\delta< 2$ یا $\delta< 1$ یا $\delta$ کمتر از هر عددی کوچکتر از $3$ اختیار کنید این دیگه قاعده ای نداره و به دلخواه شماست. فقط شرط این است که همسایگی شامل صفر نشود) مثلا در اینجا $\delta< 2$ در نظر بگیریم در اینصورت از $||t|-3|< |t-3|< 2$ داریم $-2< |t|-3$ داریم $|t|>1$ و لذا $\frac 1{|t|}< 1$ که در اینصورت $$ \frac 19\frac1{|t|}|t-3|< \frac 19\times 1\times |t-3|< \epsilon $$ اگر و تنهااگر $|t-3|< 9\epsilon$ پس کافی است $0< \delta< \min\{2, 9\epsilon\}$ انتخاب کنیم.

توسط aaa
ویرایش شده توسط aaa
من هم همین جواب رو به دست آوردم اما جوابی که تو کتاب اومده مینیمم 1 و 18اپسیلون است .
هرچند اون هم درسته و با تعریف حد جور در میاد.
توسط fardina
خوب لابد $\delta< 1$ در نظر گرفته بوده به جای $2$.
اگر جواب رو داشتید باید جواب رو می نوشتید و میگفتید در کجا به مشکل برخوردید و توضیح‌ می خواستید!
پس از این به یعد لطفا کامل توضیح بدید و تلاشتون برای مساله رو بنویسید.

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...