به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+1 امتیاز
546 بازدید
در دانشگاه توسط

حاصل انتگرال زیر را بدست آورید؟

$$ \int \frac{dx }{sin \ x \ cos \ x} $$

1 پاسخ

می توانید به پاسخ(ها) امتیاز دهید یا آن را انتخاب کنید.

+2 امتیاز
توسط Aban
ویرایش شده توسط fardina

چون $\int \frac{dx}{\sin(x) \cos(x)}=\int \frac{2dx}{\sin(2x) }$، پس کافی است انتگرال $\int \frac{dy}{\sin(y) }$ را محاسبه نماییم. اما

$$\int \frac{dy}{\sin(y) }=\int \frac{\sin(y)dy}{\sin^2(y) }= \int \frac{\sin(y)dy}{1-\cos^2(y) }$$, با جایگزاری $u= \cos(y)$ کافی است انتگرال $\int \frac{du}{u^2 -1 }$ را محاسبه نماییم، اما $$\begin{align}\int \frac{du}{u^2 -1 } &= \frac{-1}{2}\int \frac{du}{u -1 } + \frac{1}{2}\int \frac{du}{u +1 }\\ & = \frac {1}{2}ln\frac{u+1}{u-1} +C\\ & = \frac {1}{2}ln\frac{\cos y+1}{\cos y-1} +C \\ &= \frac {1}{2}ln\frac{\cos 2x+1}{\cos 2x-1} +C\end{align}$$

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...