به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+1 امتیاز
625 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط yosef.sobhi
ویرایش شده توسط fardina

آیا $ L^{1} (x) $ یک فضای هیلبرت است ؟ چرا؟

دارای دیدگاه توسط erfanm
ویرایش شده توسط erfanm
$ f=\chi_{ [0,1]}, g=\chi_{ [1,2]}  $در قانون متوازی الاضلاع صدق نمیکنند لذا$L_{1}$فضای هیلبرت نیست.
البته این مثال نقضی برای تمام $L_{p}$ غیر از $L_{2}$ است چون برای هر $p$ تنها زمانی قضیه متوازی الاضلاع برای این دو تابع برقرار میشه که $p=2$ باشد.

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط fardina

خیر فضای هیلبرت نیست.

یک نرم $ \|.\|$ از یک ضرب داخلی القا می شود اگر و تنها اگر در قانون متوازی الاضلاع صدق کند یعنی: $$ \|x+y\|^2+\|x-y\|^2=2(\|x\|^2+\|y\|^2) $$

مثلا $f,g\in L^1[0,1] $ را به صورت $ f(x)=x $ و $ g(x)=1-x $ در نظر بگیرید. و خواهید دید که قانون متوازی الاضلاع در مورد نرم $ \|.\|_1 $ که به صورت $\|f\|_1=\int_0^1 |f|d\mu $ تعریف می شود برقرار نیست.

از بین $ L^p $ ها تنها $L^2 $ یک فضای هیلبرت است.

به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
حمایت مالی
...