به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+1 امتیاز
88 بازدید
در دانشگاه توسط Javadsh (6 امتیاز)
ویرایش شده توسط fardina

enter image description here

$$\int_0^\infty \frac{x^3}{e^x-1}dx=4\int_0^\infty x^4\times \frac{e^x}{(e^x-1)^2}dx$$
توسط MSS (1,365 امتیاز)
برابر نیستند.
در سمت منفی بینهایت حد بگیرید. یکی صفر است یکی بی نهایت.
اما هر دو در بقیه نقاط محدود هستند.
پس برابر نیستند.
توسط AmirHosein (10,288 امتیاز)
@Javadsh متن پرسش را کامل بنویسید، فکر نکنید نوشتن قسمتی در عنوان پرسش کار متن پرسش را نیز انجام می‌دهد.

1 پاسخ

+1 امتیاز
توسط AmirHosein (10,288 امتیاز)

تعریف کنید $$A=\frac{x^3}{e^x-1},\quad B=\frac{4xe^x}{(e^x-1)^2}$$ توجه کنید که $$\begin{array}{lll}\frac{B}{A}=\frac{4xe^x}{e^x-1} & = & \frac{4xe^x-4x+4x}{e^x-1}\\ & = & 4x+\frac{4x}{e^x-1} \end{array}$$ که به ازای هر $x>0$ مقداری اکیدا مثبت است و تابعی افزایشی (صعودی) اکید. پس جمع ریمانی که به مقدار انتگرال میل می‌کند برای $B$ مقدارهای بیشتر اکید نسبت به برای $A$ جمع می‌زند. پس مقدارِ $\int_0^\infty Bdx$ اکیدا بزرگتر از مقدارِ $\int_0^\infty Adx$ باید باشد.


حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...