به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+1 امتیاز
62 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط Javadsh
ویرایش شده توسط fardina

enter image description here

$$\int_0^\infty \frac{x^3}{e^x-1}dx=4\int_0^\infty x^4\times \frac{e^x}{(e^x-1)^2}dx$$
دارای دیدگاه توسط MSS
برابر نیستند.
در سمت منفی بینهایت حد بگیرید. یکی صفر است یکی بی نهایت.
اما هر دو در بقیه نقاط محدود هستند.
پس برابر نیستند.
دارای دیدگاه توسط AmirHosein
@Javadsh متن پرسش را کامل بنویسید، فکر نکنید نوشتن قسمتی در عنوان پرسش کار متن پرسش را نیز انجام می‌دهد.

1 پاسخ

+1 امتیاز
پاسخ داده شده توسط AmirHosein

تعریف کنید $$A=\frac{x^3}{e^x-1},\quad B=\frac{4xe^x}{(e^x-1)^2}$$ توجه کنید که $$\begin{array}{lll}\frac{B}{A}=\frac{4xe^x}{e^x-1} & = & \frac{4xe^x-4x+4x}{e^x-1}\\ & = & 4x+\frac{4x}{e^x-1} \end{array}$$ که به ازای هر $x>0$ مقداری اکیدا مثبت است و تابعی افزایشی (صعودی) اکید. پس جمع ریمانی که به مقدار انتگرال میل می‌کند برای $B$ مقدارهای بیشتر اکید نسبت به برای $A$ جمع می‌زند. پس مقدارِ $\int_0^\infty Bdx$ اکیدا بزرگتر از مقدارِ $\int_0^\infty Adx$ باید باشد.

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...