به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+2 امتیاز
87 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط Tarana
ویرایش شده توسط saderi7

حد به صورت مبهم در می آید.چگونه رفع ابهام کنم؟

$$ \lim_{x \rightarrow 0^{+} }(\cos x)^{ \dfrac{1}{x^{2}}} =? $$
مرجع: کتاب توماس

2 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط good4us
$ \lim_{x \rightarrow 0^{+} }(cos x)^{ \frac{1}{x^{2}}}=\lim_{x \rightarrow 0^{+} }( \sqrt[]{1- sin^{2}x } )^{ \frac{1}{x^{2}}}=\lim_{x \rightarrow 0^{+} }(1- sin^{2}x)^{ \frac{1}{2x^{2}}}=\lim_{x \rightarrow 0^{+} }((1- sin^{2}x)^{ \frac{1}{- sin^{2}x} }) ^{\frac{- sin^{2}x}{2x^{2}}} = e^{ \frac{-1}{2} }= \frac{1}{ \sqrt[]{e} } $
+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط saderi7
$$\displaystyle \lim_{x\to 0} \cos(x)^\frac{1}{x^2}=\lim_{x\to 0}e^{\frac{1}{x^2}\ln \cos x}$$ $$\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{1}{x^2}\ln \cos x = \lim_{x\to 0} \frac{1}{x^2}\ln \sqrt{1-\sin^2x}=\frac{1}{2}\lim_{x\to 0} \frac{\sin ^{2}x}{x^{2}}\frac{\ln (1-\sin ^{2}x)}{\sin ^{2}x}=$$ $$\displaystyle \frac{1}{2}\lim_{x\to 0}\left(\frac{\sin x}{x}\right)^2\lim_{y\to 0}\frac{\ln (1-y)}{y}=\frac{1}{2}\cdot 1 \cdot (-1) = -\frac{1}{2}$$ $$\displaystyle \Rightarrow \lim_{x\to 0} \cos(x)^\frac{1}{x^2}=e^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{e}}$$

در مسیر حل از این قضیه ها استفاده شده :

$$\cos x =\sqrt{1-\sin^2 x}\\ \lim_{x \to 0}\dfrac{\sin x}{x}=1 \\ \lim_{x\to 0}\dfrac{\ln (1+(-x))}{-x}=-1$$

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...