به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
0 امتیاز
54 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط 3andalib
ویرایش شده توسط admin

سوال در مورد به دست آوردن حد زیر است: $$\lim_{x\to 0^+} x^2\ln x$$

از طریق هم ارزیها به نتیجه ای نرسیدم.

دارای دیدگاه توسط admin
سلام. موقع پرسیدن سوال حتما این جمله را دیدید:
"فقط یک سوال بپرسید و آن را با جزئیات توضیح دهید."
برچسب معادله اینجا چه کاربردی دارد؟
لطفا راهنمای تایپ ریاضی را بخوانید.
"از طریق هم ارزیها به نتیجه نرسیدم" به عنوان تلاش شما در اینجا قابل قبول نیست. بهتر بود بنویسید که با چه روشی خواستید حل کنید و در کجا گیر کردید. اینطوری کاربران دیگر به شما کمک می کردند که چطوری با راه حل شما میشه به جواب رسید. و یا اینکه شاید راه حل شما درست نباشه.
من این دفعه براتون ویرایش می کنم. لظفا از این به بعد قوانین را رعایت کنید.

2 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط saderi7

ابتدا متغییر و تغییر میدهیم :

$$x:={e^{-t}} \ \ \ \ : x > 0$$

در نتیجه خواهیم داشت :

$$ \lim_{x\to 0^+}x^2\ln x=\lim_{t\to+\infty}(-t)(e^{-t})^2=\lim_{t\to+\infty}\frac{-t}{(e^t)^2}$$

حال از نامساوی زیر استفاده میکنیم :

$$e^t\ge 1+t$$

در نتیجه با توجه به نامساوی ایجاد شده و قضیه فشردگی خواهیم داشت :

$$ \left|\lim_{x\to 0^+}x^2\ln x\right|\le \lim_{t\to+\infty}\left|\frac{-t}{(e^t)^2}\right|=\lim_{t\to+\infty}\frac{t}{(e^t)^2}\le \lim_{t\to+\infty}\frac{t}{(t+1)^2}=0.$$

بنابراین خواهیم داشت :

$$\lim_{x\to 0^+}x^2\ln x =0$$
+1 امتیاز
پاسخ داده شده توسط good4us

به کمک قاعده هوپیتال

$$\lim_{x\to 0^+} x^2\ln x=\lim_{x\to 0^+} \frac{\ln x}{ \frac{1}{x^2}}=\lim_{x\to 0^+} \frac{\frac{1}{x}}{ \frac{-2}{x^3}}=\lim_{x\to 0^+}\frac{-x^2}{2}=0 $$

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...