به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
–1 امتیاز
53 بازدید
سوال شده در دبیرستان و دانشگاه توسط Vaster
ویرایش شده توسط saderi7

حد دنباله بازگشتی زیرا به دست اورید .

$$x_{n+1}=\sqrt{a+x_n} \ \ \ : \ \ x_0:=\sqrt{a}$$

که جمله های دنباله به صورت زیر هستند :

$$x_1=\sqrt{a+\sqrt{a}}$$ $$x_2=\sqrt{a+\sqrt{a+\sqrt{a}}}$$ $$ . \\ . \\ .$$
دارای دیدگاه توسط good4us
سوال خودتان را تایپ کنید

1 پاسخ

0 امتیاز
پاسخ داده شده توسط saderi7

ابتدا دنباله را به صورت زیر مینویسیم :

$$x_{n+1}=\sqrt{a+x_n} \ \ \ : \ \ x_0:=\sqrt{a}$$

ابتدا ثابت میکنیم که دنباله $ \big( x_n\big)_{ n \in \mathbb{N}}$ همگراست . برای این کار تابع $f $ با ضابطه $f(x)=\sqrt{x+a}$ در نظر بگیرید . که $x_f=\frac{1+\sqrt{1+4a}}{2}$ نقطه ثابت تابع $f$ است .واضح است که تابع $f$ تابع اکید صعودی است . در نتیجه دنباله $ \big( x_n\big)_{ n \in \mathbb{N}}$ دنباله صعودی است . و همچنین چون $x_0=\sqrt{a} < x_f$ و دنباله صعودی است خواهیم داشت $x_{n+1}=f(x_n) < f(x_f)=x_f$ درنتیجه با استقرای ساده میتوان ثابت کرد که دنباله $ \big( x_n\big)_{ n \in \mathbb{N}}$ از بالا کراندار است توسط $x_f$ . بنابراین طبق قضیه وایرشتراس دنباله $ \big( x_n\big)_{ n \in \mathbb{N}}$ همگرا است .$ \Box $ .


حال که اثبات کردیم همگراست میتوان نوشت که :

$$L = \lim_{n\to\infty}x_n \\ L=\lim_{n\to\infty}x_{n+1}=\lim_{n\to\infty}\sqrt{a +x_n}=\sqrt{\lim_{n\to\infty}(a+x_n)}=\sqrt{a+L}$$ $$L^2-L-a=0 $$

$$L=\frac{1+ \sqrt{1+4a}}{2}$$

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...