به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+3 امتیاز
108 بازدید
سوال شده در دبیرستان توسط
دوباره دسته بندی کردن توسط

یک عدد طبیعی را کوچولو می نامیم هرگاه دست کم سه مقسوم علیه مثبت داشته باشد و برابر مجموع کوچکترین سه مقسوم علیه مثبتش باشد چند عدد کوچولو وجود دارد؟

  1. $ 0 $
  2. $ 1 $
  3. $ 3 $
  4. $ 6 $
  5. بینهایت

2 پاسخ

+1 امتیاز
پاسخ داده شده توسط
انتخاب شده توسط
 
بهترین پاسخ

فرض $ n $ عدد طبیعی کوچولوی دلخواهی باشه نشان میدهیم $ n $ باید برابر 6 باشد لذا فقط و فقط یک عدد کوچولو داریم

فرض عدد اول $ p $ کوچکترین عدد اولی باشه که $ n$ رو عاد میکنه لذا $ n=kp$ دو حالت داریم

1)فرض عدد اول دیگری غیر از $ p $ مانند $ q $ موجود باشد که $n $ را عاد میکند لذا از $ p $ بزرگتر است و چون هردو اول هستند باید $ k $ را عاد کند یعنی $ q \leq k $ اگر بعد از $ p $ ، $ q $ کوچکترین مقسوم علیه $ n $ باشد آنگاه $ n $ برابر مجموع $1+p+q $ است در غیر اینصورت داریم

$ n \leq 1+p+q \leq 2q \leq 2k \leq kp=n $

لذا باید طرفین برابر باشند لذا $ 2k=kp $ یعنی $ 2=p$ و همچنین $ 1+p+q =2q $ پس $ q=3 $ وهمچنین از رابطهی وسطی یعنی $ 2q =2k$ داریم $ k=q $ پس

$ n=kp=pq=6$

حال فرض چنین $ q$ ای موجود نباشد لذا داریم $ n= p^{t} $ و برای اینکه $3$مقسوم علیه داشته باشد باید$ t$ از $1$ بزرگتر باشد و برای کوچولو بودن باید داشته باشیم $ n=1+p+p^{2}$ و چون $ p $ طرف چپ را عاد میکند لذا طرف راست را عاد می کند و چون$ p+p^{2} $ را عاد میکند لذا باید $1$ را نیز عاد کند که با اینکه عددی اول است در تناقض است. و حکم ثابت شد.

+3 امتیاز
پاسخ داده شده توسط
ویرایش شده توسط

جواب میشه گزینه2. این عدد کوچولو رو $ n $ بنامیم و چون $ 1 $ اولین مقسوم علیه کوچک هر عددی است، فرض کنیم $ p, q $ دو کوچکترین مقسوم علیه دیگری هستند که $ n=1+p+q $و $p< q $.

ثابت می کنیم که $p, q $ دو عدد اول هستن. اگر $ \gcd (p, q) \neq 1 $ در این صورت داریم $ \gcd(p, q)=g $. با توجه به اینکه $ g < q$، لذا باید $ n=1+p+g $. اما $ p=rg$ و $ r < p $ و چون $ r | p, p|n $ ، لذا $ n=1+r+g $ که تناقض است، زیرا فرض کردیم که $ p, q $ دو مقسوم علیه کوچک بعد از 1 باشند.

اما حل اصلی مسئله!!!!!

داریم $ n=1+p+q $ ، چون $ p|1+p+q $ و $p | p $ ، لذا $ p | 1+q $ یعنی $ q+1= \alpha p $.

با جایگذاری در معادله اصلی داریم: $ n= \alpha (1+p)$.

اما چون $ q | n $ و $ \gcd (p, q) =1 $، لذا داریم: $ q | \alpha + 1 $
یعنی $ \alpha + 1= \beta q$ .پس $ n = \beta pq $.

لذا $ \beta pq = 1+p+q $ .

در معادله فوق، چنانچه $ \beta = 1 $، آنگاه $ p=2 , q=3 $. که یک جواب معادله است. اما ثابت می کنیم چنانچه $ \beta > 1 $ ، آنگاه معادله جواب ندارد.

فرض که $ \beta > 1$. آنگاه داریم:

$ pq > p + q $ و $ pq > 1 $، لذا $ \beta pq > pq + pq > 1 + p + q=n $ .

بنابراین معادله $\beta pq = 1+p+q $ به ازای $ \beta > 1 $ فاقد جواب است.

و این عدد کوچولو فقط 6 هستش!

دارای دیدگاه توسط
ممکنه فقط یک عدد اول عدد $n$ رو عاد کنه
دارای دیدگاه توسط
ویرایش شده توسط
+1
اگه فقط یه عدد اول n رو عاد کنه که دیگه غیر ممکنه کوچولو باشه
یعنی n به صورت توانی از اون عدد اوله n=p^{t}
که در اینضورت کوچکترین مقسوم علیه هاش میشن 1, p,p^{2}
که اگر t=1 یعنی n=pکه در شرط مسئله صدق نمیکنه
اگر همt بزرگتر مساوی 2 باشه در اینصورت حالت اول: t=2
 n=1+p+p^{2
که غیر ممکنه
حالت دوم: t > 2
با توجه به اینکه همواره p^{3} > 1+p+p^{2
(میتوان با مقایسه نمودار x^{3 و نمودار سمت راست(متغیر x) این مطلب را برای اعداد صحیح مثبت،مشاهده کرد).
لذا در چنین حالتی غیر ممکن است که n عددی کوچولو باشد.
البته شما جوابرو در این حالت، مختصرتر بیان کردین.
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
حمایت مالی
...