به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+2 امتیاز
599 بازدید
در دبیرستان توسط
ویرایش شده توسط erfanm

تاسی را حداقل چند بار پرتاب کنیم تا احتمال آمدن $1$ بیش از $99\%$ باشد؟

حداقل چند بار پرتاب کنیم تا احتمال آمدن عددی زوج بیش از $99\%$ باشد؟

1 پاسخ

می توانید به پاسخ(ها) امتیاز دهید یا آن را انتخاب کنید.

+1 امتیاز
توسط erfanm
ویرایش شده توسط admin

احتمال آمدن عدد حداقل یک عدد $1$ بعد از $n$ پرتاب =در اولین پرتاب $1$ بیاید یا در دومین پرتاب $1$ بیاید یا ...یا در $n$ امین پرتاب$1$ بیاید پس$ A $ را برابر پیشامد آمدن $1$ قرار دهیم داریم:

$$p(A)= \frac{1}{6} + \frac{5}{6} \times \frac{1}{6} +( \frac{5}{6} )^{2} \times \frac{1}{6}+...+( \frac{5}{6} )^{n} \times \frac{1}{6}$$ با کمی دقت معلوم میشود یک دنباله ی هندسی با جمله ی اول $ \frac{1}{6} $ و قدر نسبت $ \frac{5}{6} $ است که مجموع $n$ جمله برابر است با : $$ p(A)=\frac{ \frac{1}{6} (1- (\frac{5}{6} )^{n} )}{1- \frac{5}{6} } =1- (\frac{5}{6} )^{n} $$ حال سوال میخواهد این احتمال بیش از $99\%$ باشد لذا باید داشته باشیم: $$ 1- (\frac{5}{6} )^{n} \geq \frac{99}{100} \Rightarrow \frac{1}{100} \geq (\frac{5}{6} )^{n}$$ که با حل آن $n\geq \frac{2}{log \frac{6}{5} } $ بدست می آید.

در حالت کلی هم اگر احتمال اتفاق افتادن پیشامدی مانند $ A $ در هربار تکرار آزمایشی تصادفی برابر $ p $ باشد و حداقل تکرار های لازم برای شانس اتفاق افتادن دلخواه $ x\% $ را بخواهیم با دنباله ی هندسی با جمله اول $ p$ و قدر نسبت $1-p $ روبه رو هستیم و کافیست معادله ی زیر را حل کنیم تا حداقل دفعات لازم برای رسیدن به نتیجه مطلوب بدست آید. $$ 1- (1-p )^{n} \geq \frac{x}{100} $$

که در بخش دوم سوال احتمال آمدن عدد زوج برابر $ \frac{1}{2} $ است لذا باید معادله ی زیر را حل کنیم تا جواب بدست آید. $$ 1- ( \frac{1}{2} )^{n} \geq \frac{99}{100} \Rightarrow \frac{1}{100} \geq (\frac{1}{2} )^{n} \Rightarrow 2^{n} \geq 100 $$ لذا حداقل پرتاب لازم برابر $7$ است.

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...