به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+4 امتیاز
94 بازدید
در دبیرستان و دانشگاه توسط fardinffa
ویرایش شده توسط fardinffa

برای مقادیر صحیح $x \geq 0$ ثابت کنید: $\lfloor\sqrt{x}+ \sqrt{x+1}+ \sqrt{x+2}\rfloor=\lfloor \sqrt{9x+8}\rfloor$

توسط admin
لطفا از سلام کردن و موارد غیر ضروری در طرح سوال بپرهیزید. و بجای آن سوال را با جزییات توضیح دهید و تلاش خود برای حل مساله را بنویسید. این مطلب را بخوانید: https://math.irancircle.com/11973
توسط Vr01
برای این که نشان دهیم تساوی بالا برقرار است باید نشان دهیم که عبارت داخل جز صحیح سمت چپ منهای عبارت داخل جز صحیح سمت راست بین منهای یک و یک است. من از مشتق رفتم تا ماکسیمم  مینیمم این عبارت رو بدست بیارم که عبارت خیلی پیچیده می شه! یه جوری باید اثبات کرد که اون نامساوی برقراره

1 پاسخ

+2 امتیاز
توسط kazomano
انتخاب شده توسط fardinffa
 
بهترین پاسخ

اولا برای $x \neq y$ داریم $x+y< \sqrt{2 x^{2} + 2y^{2} } $ پس

$$ \sqrt{x} + \sqrt{x+1} + \sqrt{x+2} <3 \sqrt{x+1} $$

حالا از طرفی به راحتی با استقراء ( یا هر روش دیگه ای ) داریم

$$ \sqrt{9x+8} <\sqrt{x} + \sqrt{x+1} + \sqrt{x+2} $$

پس

$$ 9x+8 < (\sqrt{x} + \sqrt{x+1} + \sqrt{x+2})^{2} <9x+9 $$

و بنابراین

$$[(\sqrt{x} + \sqrt{x+1} + \sqrt{x+2})^{2}]=9x+8$$

پس

$$[\sqrt{x} + \sqrt{x+1} + \sqrt{x+2}]=[ \sqrt{9x+8} ]$$

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...