به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+4 امتیاز
102 بازدید
در دبیرستان و دانشگاه توسط fardinffa (414 امتیاز)
ویرایش شده توسط fardinffa

برای مقادیر صحیح $x \geq 0$ ثابت کنید: $\lfloor\sqrt{x}+ \sqrt{x+1}+ \sqrt{x+2}\rfloor=\lfloor \sqrt{9x+8}\rfloor$

توسط admin (1,495 امتیاز)
لطفا از سلام کردن و موارد غیر ضروری در طرح سوال بپرهیزید. و بجای آن سوال را با جزییات توضیح دهید و تلاش خود برای حل مساله را بنویسید. این مطلب را بخوانید: https://math.irancircle.com/11973
توسط Vr01 (48 امتیاز)
برای این که نشان دهیم تساوی بالا برقرار است باید نشان دهیم که عبارت داخل جز صحیح سمت چپ منهای عبارت داخل جز صحیح سمت راست بین منهای یک و یک است. من از مشتق رفتم تا ماکسیمم  مینیمم این عبارت رو بدست بیارم که عبارت خیلی پیچیده می شه! یه جوری باید اثبات کرد که اون نامساوی برقراره

1 پاسخ

+2 امتیاز
توسط kazomano (2,368 امتیاز)
انتخاب شده توسط fardinffa
 
بهترین پاسخ

اولا برای $x \neq y$ داریم $x+y< \sqrt{2 x^{2} + 2y^{2} } $ پس

$$ \sqrt{x} + \sqrt{x+1} + \sqrt{x+2} < 3 \sqrt{x+1} $$

حالا از طرفی به راحتی با استقراء ( یا هر روش دیگه ای ) داریم

$$ \sqrt{9x+8} < \sqrt{x} + \sqrt{x+1} + \sqrt{x+2} $$

پس

$$ 9x+8 < (\sqrt{x} + \sqrt{x+1} + \sqrt{x+2})^{2} < 9x+9 $$

و بنابراین

$$[(\sqrt{x} + \sqrt{x+1} + \sqrt{x+2})^{2}]=9x+8$$

پس

$$[\sqrt{x} + \sqrt{x+1} + \sqrt{x+2}]=[ \sqrt{9x+8} ]$$

حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...