به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+2 امتیاز
59 بازدید
در دبیرستان و دانشگاه توسط fardinffa
ویرایش شده توسط admin

معادله زیر را حل کنید:

$(\frac{ ( x^{3}+1 )^{3}+8 }{16}) ^{3}+1=2x $

از طریق رسم نمودار در نرم افزار ها می توان تعداد ریشه ها را کرد . آیا راهی برای محاسبه آن ها وجود دارد؟

1 پاسخ

+2 امتیاز
توسط saderi7
انتخاب شده توسط fardinffa
 
بهترین پاسخ

تعریف میکنیم : $$y:=\frac{x^3+1}{2}$$

$$z:=\sqrt[3]{2x-1}$$

در نتیجه معادله به صورت زیر است :

$$\frac{y^3+1}{2}=z$$

حال فرض میکنیم $x>y$ است در نتیجه :

$$x>y=\frac{x^3+1}{2}>\frac{y^3+1}{2}=z$$ پس باید داشته باشیم $x > y > z$ . اما با توجه به : $y^3+1=2z$ و $z^3+1=2x$ $$0=y^3-z^3+2(x-z) > 0,$$ که تناقض است . همچنین اگر $x < y$ را در نظر بگیریم بازم هم به تناقض میرسیم .در نتیجه باید داشته باشیم $x=y$ در این صورت خواهیم داشت : $$x^3-2x+1=0 \\ x^3-x^2+x^2-x-x+1=0 \\ (x-1)(x^2+x-1)=0 \\$$ بنابراین مجموعه جواب معادله برابر است با :

$$\left\{1,\frac{-1+\sqrt5}{2},\frac{-1-\sqrt5}{2}\right\}$$

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...