به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+2 امتیاز
75 بازدید
در دانشگاه توسط nima007
ویرایش شده توسط saderi7

حاصل حد $$\lim_{x \to 0} (\frac{1}{\ln (x+\sqrt{1+x^2)} }- \frac{1}{\ln( x+1)} ) =?$$ چقدر می شود؟

چون به فرم مبهم ∞-∞ است از کدام بسط باید استفاده کرد؟

ممنون

1 پاسخ

+2 امتیاز
توسط saderi7

با استفاده از بسط زیر : $$\ln (x+\sqrt{1+x^2})\approx \ln (1+x+\frac12x^2)\approx x+\frac12x^2-\frac12x^2 \approx x$$ و همچنین : $$\ln (1+x) \approx x-\frac{x^2}2$$

زمانی که $x$ به سمت صفر میل میکند . در نتیجه حاصل حد برابر خواهد شد با :

$$\begin{aligned}L &=\lim _{x\to 0}\left(\frac{\ln \left(x+1\right)-\ln \left(x+\sqrt{x^2+1}\right)}{\ln \left(x+1\right)\ln \left(x+\sqrt{x^2+1}\right)}\right) \\&=\lim _{x\to 0}\left(\frac{x-\frac{1}{2}x^2-x}{\left(x-\frac{1}{2}x^2\right)\left(x\right)}\right) \\&=\lim _{x\to 0}\left(\frac{-\frac{x^2}{2}}{x^2-\frac{x^3}{2}}\right) \\&=\color{red}{-\frac{1}{2}}\end{aligned}$$
توسط Mohsenn
ویرایش شده توسط Mohsenn
@saderi۷. سلام . هم ارزی ها رو با  بسط مرتبه دوم سری تیلور بدست آوردید ؟ در مورد بدست آوردن هم ارز های برنولی یا هم ارز های بی نهایت کتابی هست که  اثباتش رو توضیح داده باشه ؟
توسط saderi7
@Mohsenn
سلام . از قضیه تیلور استفاده شده . که تو هر کتاب ریاضی عمومی یا انالیز ریاضی رجوع کنید میتونید پیدا کنید .
hamyarapply

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...