به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+1 امتیاز
116 بازدید
در دانشگاه توسط 14510545 (58 امتیاز)
ویرایش شده توسط AmirHosein

حد زیر را به صورت یک انتگرال معین بنویسید.

$$\lim_{n\rightarrow +\infty}\frac{\sqrt[n^2]{e}+2\sqrt[n^2]{e^4}+3\sqrt[n^2]{e^9}+\ldots+(n-1)\sqrt[n^2]{e^{(n-1)^2}}}{n^2}$$

آنچه که ایجاد ابهام کرده برام اینه که تغییرات $i$ از ۱ تا $n-1$ هستش. اگر تغییرات $i$ از ۱ تا $n$ باشه حاصل به صورت مقابل خواهد بود:

$$\int_0^1 x e^{x^2}{\rm d}x$$
مرجع: کتاب ریاضی عمومی ۱ رشتهٔ ریاضی- نوشتهٔ دکتر شهریار فرهمند راد- انتشارات پیام نور- چاپ دوم آبان۱۳۹۵- فصل ۶- صفحه ۴۲۹- تمرین ۲- مورد ۱
توسط kazomano (2,391 امتیاز)
+1
خب اون آخری رو خودت اضافه و کم کن.
توسط Neseli (318 امتیاز)
تغییرات را اگر از 0 تا n-1 درنظر بگیرید.
توسط 14510545 (58 امتیاز)
واقعا ممنون از همگی.

متأسفانه فعلا راه بهتری برای تشکر کردن ندارم.

1 پاسخ

0 امتیاز
توسط 14510545 (58 امتیاز)

پس با توصیح جناب @kazomano خواهیم داشت:


$ \lim_{n \rightarrow + \infty } \frac{ \sqrt[n^2]{e}+2\sqrt[n^2]{e^4}+3\sqrt[n^2]{e^9}+ \ldots +(n-1)\sqrt[n^2]{e^(n-1)^2} }{n^2} = \int_0^1 x e^{ x^{2} }dx - \lim_{n \rightarrow + \infty } \frac{ (n)\sqrt[n^2]{ e^{ n^{2} } } }{n^2} = \int_0^1 x e^{ x^{2} }dx $

و با توضیح جناب @Neseli عدد $(0)\sqrt[n^2]{ e^{ 0^{2} } }$ به سری موجود در صورت کسری که در سؤال آمده، اضافه خواهد شد.


پس در واقع مهم اینه که رابطه بر مبنای تعداد تقسیمات $n$ برای بازه $a$ تا $b$ نوشته بشه.

پس اینم می شد که $ \Delta $ رو به صورت زیر تعریف کرد:

$\Delta= \frac{b-a}{n-1} $

حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...