به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+2 امتیاز
45 بازدید
در دبیرستان توسط arashari44
ویرایش شده توسط arashari44

$ \frac{ a^{2} }{2} + \frac{ b^{3} }{3}+ \frac{ c^{6} }{6} \geq abc $اثبات این نامساوی خواسته شده است. فکر میکنم باید از نامساوی $ \frac{ a^{2} }{2}+ \frac{ b^{2} }{2} \geq ab $ استفاده کرد. ولی چندان نتیجه ی جالبی نداشت: $ \frac{ a^{2} }{2}+ \frac{ b^{3} }{3}+ \frac{ c^{6} }{6} = \frac{ a^{2} }{2}+ \frac{ \frac{1}{3}(2 b^{3}+ c^{6} ) }{2} \geq a \sqrt{ \frac{1}{3}(2 b^{3}+ c^{6} ) } $(که با اون نمیشه حکم را ثابت کرد) همچنین حالت تساوی رابطه نیز خواسنه شده است که به ازای 1=a=b=c اینگونه است اما چگونه میتوان اثبات کرد لزوما به ازای اعداد دیگر تساوی برقرار نیست. دقت کنید a و b و c اعداد حقیقی مثبت هستند.

مرجع: پرسیده شده توسط یک دوست!!!

1 پاسخ

+2 امتیاز
قبل توسط saderi7
انتخاب شده قبل توسط arashari44
 
بهترین پاسخ

ابتدا طرف سمت چپ نامساوی را به صورت زیر تعریف میکنیم و بازنویسی میکنیم :

$$ f(a,b,c):=\frac{a^2}{2}+\frac{b^3}{3}+\frac{c^6}{6}=\frac{a^2}{6}+\frac{a^2}{6}+\frac{a^2}{6}+\frac{b^3}{6}+\frac{b^3}{6}+\frac{c^6}{6}$$

حال با توجه به نابرابری میانگین حسابی-هندسی خواهیم داشت :

$$f(a,b,c) \geq \sqrt[6]{a^2\cdot a^2\cdot a^2\cdot b^3 \cdot b^3 \cdot c^6}$$

در نتیجه خواهیم داشت :

$$f(a,b,c) \geq abc$$ $ .\Box $
قبل توسط arashari44
ممکنه حالت تساوی به غیر از a=b=c=1 هم وجود داشته باشه؟
قبل توسط rafig256
ممکنه در مورد نابرابری میانگین حسابی-هندسی توضیح بدید و یا صورتش رو قید کنید.
قبل توسط saderi7
ویرایش شده قبل توسط saderi7
+2
حالت تساوی این نامساوی همانند حالت تساوی در نامساوی حسابی هندسی است . یعنی حالت تساوی وقتی رخ میدهد که اگر و تنها اگر$  a^2=b^3=c^6 $ باشد .
قبل توسط saderi7
+1
@rafig256
به لینک زیر رجوع کنید :
https://en.wikipedia.org/wiki/Inequality_of_arithmetic_and_geometric_means
قبل توسط rafig256
+1
ممنون
مطالعه کردم و یاد گرفتم

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...