به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
0 امتیاز
52 بازدید
در دبیرستان و دانشگاه توسط fardinffa
ویرایش شده توسط fardina

تابع f در R مشتق پذیر است و برای هر x رابطه $ f'{(2-x)}= f{(x)}$ برقرار است . اگر $ f' {(1)}=2 $ باشد حاصل $ f^{2}{(x)}+ f^{2}{(2-x)}$ را بیابید.

توسط fardina
بنویسید $f(x)$
به صورت اندیس $f_{(x)}$ درست نیست!
توسط fardinffa
چشم از دفعه بعد حتما

1 پاسخ

+1 امتیاز
توسط Mahdimoro
ویرایش شده توسط Mahdimoro
 
بهترین پاسخ

قرار دهید $g(x)=f^2(x)+f^2(2-x)$. حال داریم:

$$ (1) g'(x)=2f(x)f'(x)-2f(2-x)f'(2-x)$$

با توجه به فرض سوال داریم: $$f'(2-x)=f(x) \Rightarrow if:x \rightarrow (2-x) \Longrightarrow f(2-x)=f'(x)$$ بنابرین: $$f(2-x)f'(2-x)=f(x)f'(x)$$ از این رابطه و رابطه ی $(1)$ نتیجه میشود همواره $g'(x)=0$. پس $g(x)$ همواره مقدار ثابتی است. بنابراین: $$ g(x)=g(1)=f^2(1)+f^2(1)=2f^2(1)=2f'^2(1)=8$$

توسط fardinffa
جواب آخر 8 می شود
توسط Mahdimoro
@fardinffa
بله. تصحیح شد.

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...