به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+1 امتیاز
126 بازدید
در دانشگاه توسط toorin (6 امتیاز)
ویرایش شده توسط AmirHosein

مساحت یک گلبرگ از گلبرگ‌های تشکیل شده بوسیلهٔ $r\sin(2\theta)$ را محاسبه کنید و ثابت کنید که مساحت گلبرگ برابر با نصف مساحت دایرهٔ دربرگیرندهٔ آن است. این پرسش در درس ریاضی عمومی مطرح شده است.

1 پاسخ

+2 امتیاز
توسط AmirHosein (11,167 امتیاز)

توجه کنید که نخستین گلبرگ از زاویهٔ $\theta=0$ شروع و به $\theta=\frac{\pi}{2}$ ختم می‌شود. پارامتر ضابطهٔ گل را $R$ در نظر بگیرید و $r$ و $\theta$ را برای مختصات قطبی نگه‌دارید. قطر (فاصلهٔ دورترین جفت‌نقطه از) شکل ما $R$ است پس شعاع دایرهٔ دربرگیرنده‌اش برابر با $\frac{R}{2}$ می‌شود (مرکز این دایره میانهٔ پاره‌خط وصل‌کنندهٔ دو نقطهٔ شکل با بیشترین فاصله است). می‌توانید به شکل زیر نگاه کنید.

enter image description here

مساحت دایرهٔ دربرگیرندهٔ گلبرگ برابر است با $$\pi(\frac{R}{2})^2=\frac{\pi R^2}{4}$$

اینک مساحت گلبرگ را بیابیم. $$\begin{array}{ll}\int_0^{\frac{\pi}{2}}\int_0^{R\sin 2\theta}rdrd\theta & =\int_0^{\frac{\pi}{2}}(\left.\frac{1}{2}r^2\right]_0^{R\sin 2\theta})d\theta\\ & =\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{2}R^2\sin^22\theta d\theta\\ & \int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{2}R^2\frac{1-\cos 4\theta}{2}d\theta\\ & =\frac{1}{4}R^2\int_0^{\frac{\pi}{2}}(1-\cos 4\theta)d\theta\\ & =\frac{1}{4}R^2(\left.\theta-\frac{1}{4}\sin 4\theta)\right]_0^{\frac{\pi}{2}}\\ & =\frac{\pi R^2}{8}\end{array}$$ که نصف مساحت دایرهٔ دربرگیرنده (احاطه‌کننده، محیط) اش می‌شود.


حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...